離散型隨機(jī)變量的方差教學(xué)設(shè)計(jì)

本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)》，第七章《隨機(jī)變量及其分布列》，本節(jié)課主本節(jié)課主要學(xué)習(xí)離散型隨機(jī)變量的方差

本節(jié)本部分內(nèi)容主要包括隨機(jī)變量的均值和方差。本節(jié)課是前面學(xué)習(xí)完隨機(jī)變量分布列的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究的，知識(shí)上具有著承前啟后的作用。隨機(jī)變量的均值和方差是概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的重要概念，節(jié)課是從實(shí)際出發(fā)，通過抽象思維，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而認(rèn)知數(shù)學(xué)理論，應(yīng)用于實(shí)際的過程。

課件教案

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

A. 通過實(shí)例,理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的概念和意義.

B.會(huì)求離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差.

C.會(huì)利用離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差解決一些實(shí)際問題.

1.數(shù)學(xué)抽象：離散型隨機(jī)變量的方差的概念

2.邏輯推理：離散型隨機(jī)變量的方差的性質(zhì)

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求離散型隨機(jī)變量的方差

4.數(shù)學(xué)建模：模型化思想

重點(diǎn)：理解離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的概念及其求解

難點(diǎn)：利用離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差解決一些實(shí)際問題.

多媒體

教學(xué)過程

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、問題導(dǎo)學(xué)

隨機(jī)變量的均值是一個(gè)重要的數(shù)字特征，它反映了隨機(jī)變量取值的平均水平或分布的“集中趨勢(shì)” .因?yàn)殡S機(jī)變量的取值圍繞其均值波動(dòng)，而隨機(jī)變量的均值無法反映波動(dòng)幅度的大小，所以我們還需要尋找反映隨機(jī)變量取值波動(dòng)大小的數(shù)字特征.

二、探究新知

探究1：從兩名同學(xué)中挑出一名代表班級(jí)參加射擊比賽。根據(jù)以往的成績(jī)記錄，甲、乙兩名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X和Y的分布列如下表1和表2所示：如何評(píng)價(jià)這兩名同學(xué)的射擊水平？

E(X)= 8 ;E(Y)=8

因?yàn)閮蓚€(gè)均值相等，所以均值不能區(qū)分這兩名同學(xué)的射擊水平。

表1

X	6	7	8	9	10
P	0.09	0.24	0.32	0.28	0.07

表2

X	6	7	8	9	10
P	0.07	0.22	0.38	0.3	0.03

射擊水平除了要考慮擊中環(huán)數(shù)的均值外，還要考慮穩(wěn)定性，即擊中環(huán)數(shù)的離散程度，圖一和圖二分別是X和Y的概率分布圖：

發(fā)現(xiàn)乙同學(xué)的射擊成績(jī)更集中于8環(huán)，即乙同學(xué)的設(shè)計(jì)成績(jī)更穩(wěn)定。

探究2：怎樣定量到留離散型隨機(jī)變量取值的離散程度?

我們知道,樣本方差可以度量一組樣本數(shù)據(jù)的離散程度,它是通過計(jì)算所有數(shù)據(jù)與樣本均值的“偏差平方的平均值”來實(shí)現(xiàn)的,一個(gè)自然的想法是,隨機(jī)變量的離散程度能否用可能取值與均值的“偏差平方的平均值”來度量呢?

問題1.某人射擊10次，所得環(huán)數(shù)分別是：1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；則所得的平均環(huán)數(shù)是多少？

問題2.某人射擊10次,所得環(huán)數(shù)分別是:1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；則這組數(shù)據(jù)的方差是多少？

反映這組數(shù)據(jù)相對(duì)于平均值的集中程度的量

一般地，若離散型隨機(jī)變量X的概率分布列為：

則稱

為隨機(jī)變量X的方差，有時(shí)也記為Var(X).

稱為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差。

X	x₁	x₂	…	x_i	…	x_n
P	p₁	p₂	…	p_i	…	p_n

離散型隨機(jī)變量取值的方差

隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機(jī)變量的取值與其均值的偏離程度，反映了隨機(jī)變量取值的離散程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機(jī)變量的取值越集中；方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機(jī)變量的取值越分散。

因此，問題1中兩名同學(xué)射擊成績(jī)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差來刻畫它們成績(jī)的穩(wěn)定性。兩名同學(xué)射擊成績(jī)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為:

因?yàn)?/span>D(Y)等價(jià)地 ) ，所以隨機(jī)變量Y的取值相對(duì)更集中，即乙同學(xué)的射擊成績(jī)相對(duì)更穩(wěn)定。

問題3：方差的計(jì)算可以簡(jiǎn)化嗎？

問題4：離散型隨機(jī)變量X加上一個(gè)常數(shù)，方差會(huì)有怎樣變化？離散型隨機(jī)變量X乘以一個(gè)常數(shù)，方差又有怎樣的變化？它們和期望的性質(zhì)有什么不同？

離散型隨機(jī)變量X加上一個(gè)常數(shù)b，僅僅使X的值產(chǎn)生一個(gè)平移，不改變X與其均值的離散程度，方差保持不變，即D(X+b)= D(X)而離散型隨機(jī)變量X乘以一個(gè)常數(shù)a,其方差變?yōu)樵讲畹?/span>a²倍，即D(aX)=a²D(X),因此，D(aX+b)=a²D(X).

三、典例解析

例1：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，求擲出的點(diǎn)數(shù)X的方差。

方差的計(jì)算方法

方差的計(jì)算需要一定的運(yùn)算能力,在隨機(jī)變量X²的均值比較好計(jì)算的情況下,運(yùn)用關(guān)系式D(X)=E(X²)-[E(X)]²不失為一種比較實(shí)用的方法.另外注意方差性質(zhì)的應(yīng)用,如D(aX+b)=a²D(X)(a≠0).

跟蹤訓(xùn)練1 已知η的分布列為

(1)求η的方差及標(biāo)準(zhǔn)差;

(2)設(shè)Y=2η-E(η),求D(Y).

(2)∵Y=2η-E(η),∴D(Y)=D(2η-E(η))=2²D(η)=4384=1 536.

例2：投資A、B兩種股票，每股收益的分布列分別如表1和表二所示：

收益X/元	-1	0	2
概率	0.1	0.3	0.6

表1

收益X/元	0	1	2
概率	0.3	0.4	0.3

表2

（1）投資哪種股票的期望收益大？

（2）投資哪種股票的風(fēng)險(xiǎn)較高？

解：(1)股票A和股票B投資收益的期望分別為E(X)=(-1)x0.1+0x0.3+2x0.6=1.1,E(Y)=0x0.3+1x0.4+2x0.3=1.

因?yàn)?/span>E(X)>E(Y),所以投資股票A的期望收益較大。

（2)股票A和股票B投資收益的方差分別為

D(X)=(-1)²x0.1+0²x0.3+2²x0.6-1.1²=1.29,

D(Y)=0²x0.3+1²x0.4+2²x0.3-1²=0.6.

因?yàn)?/span>E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)>D(Y),所以資股票A比投資股票B的風(fēng)險(xiǎn)高。

利用均值和方差的意義解決實(shí)際問題的步驟

1.比較均值.離散型隨機(jī)變量的均值反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平,因此,在實(shí)際決策問題中,需先計(jì)算均值,看一下誰的平均水平高.

2.在均值相等或接近的情況下計(jì)算方差.方差反映了離散型隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度.通過計(jì)算方差,分析一下誰的水平發(fā)揮相對(duì)穩(wěn)定.

3.下結(jié)論.依據(jù)均值和方差做出結(jié)論.

跟蹤訓(xùn)練2. A、B兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤(rùn)率分別為隨機(jī)變量X₁和X₂，根據(jù)市場(chǎng)分析， X₁和X₂的分布列分別為

X₁	2%	8%	12%			X₂	5%	10%
P	0.2	0.5	0.3			P	0.8	0.2

求：(1)在A、B兩個(gè)項(xiàng)目上各投資100萬元， Y₁和Y₂分別表示投資項(xiàng)目A和B所獲得的利潤(rùn)，求方差D(Y₁)和D(Y₂)；

(2)根據(jù)得到的結(jié)論，對(duì)于投資者有什么建議？

解：(1)題目可知，投資項(xiàng)目A和B所獲得的利潤(rùn)Y₁和Y₂的分布列為：

Y₁	2	8	12		Y₂	5	10
P	0.2	0.5	0.3		P	0.8	0.2

所以;

解：(2) 由(1)可知，說明投資A項(xiàng)目比投資B項(xiàng)目期望收益要高；同時(shí)，說明投資A項(xiàng)目比投資B項(xiàng)目的實(shí)際收益相對(duì)于期望收益的平均波動(dòng)要更大.

因此，對(duì)于追求穩(wěn)定的投資者，投資B項(xiàng)目更合適;而對(duì)于更看重利潤(rùn)并且愿意為了高利潤(rùn)承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的投資者，投資A項(xiàng)目更合適.

通過知識(shí)回顧，提出問題.

通過具體的問題情境，引發(fā)學(xué)生思考積極參與互動(dòng)，說出自己見解。從而引入離散型隨機(jī)變量分布列方差的概念，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

通過典例解析，提升對(duì)概念精細(xì)化的理解。讓學(xué)生掌握方差的算法。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

通過典例解析，在具體的問題情境中，深化概率的理解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1．給出下列四個(gè)命題：

①離散型隨機(jī)變量X的均值E(X)反映了X取值的平均值；

②離散型隨機(jī)變量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平；

③離散型隨機(jī)變量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平；

④離散型隨機(jī)變量X的方差D(X)反映了X取值偏離于均值的平均程度．

則正確命題應(yīng)該是( )

A．①④ B．②③C．①② D．③④

2．把下面X的分布列填寫完整：并完成問題

其中p∈(0,1)，則E(X)＝________，D(X)＝________.

X	0	1
P	P

解析：而由已知分布列的性質(zhì)有p＋x＝1，x=1-p

E(X)＝0(1-p)＋1p＝p，

∴D(X)＝(0－p)²(1-p)＋(1－p)²p＝p(1-p).

答案：1-p； p； p(1-p)

3.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表.若E(X)=0,D(X)=1,a= ,b= .

X	-1	0	1	2
P	a	b	c

解得a=,b=. 答案:

4.甲、乙兩個(gè)野生動(dòng)物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境,且野生動(dòng)物的種類和數(shù)量也大致相等,而兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)現(xiàn)違反保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列分別如下,

甲保護(hù)區(qū):

試評(píng)定這兩個(gè)保護(hù)區(qū)的管理水平.

解:甲保護(hù)區(qū)違規(guī)次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望和方差為

E(X)=00.3+10.3+20.2+30.2=1.3,

D(X)=(0-1.3)²0.3+(1-1.3)²0.3+(2-1.3)²0.2+(3-1.3)²0.2=1.21.

乙保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望和方差為

E(Y)=00.1+10.5+20.4=1.3,

D(Y)=(0-1.3)²0.1+(1-1.3)²0.5+(2-1.3)²0.4=0.41.

因?yàn)?/span>E(X)=E(Y),D(X)>D(Y),所以兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)生的違規(guī)事件的平均次數(shù)相同,但甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)事件次數(shù)相對(duì)分散和波動(dòng),乙保護(hù)區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更加集中和穩(wěn)定,所以乙保護(hù)區(qū)的管理水平比甲高.

通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。