總體離散程度的估計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)

課題

9.2.4總體離散程度的估計(jì)

單元

第九單元

學(xué)科

數(shù)學(xué)

年級(jí)

高一

教材分析

本節(jié)內(nèi)容是在抽樣的基礎(chǔ)上，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)，本節(jié)主要估計(jì)總體的離散程度，同時(shí)，對(duì)比得出更好的估計(jì)離散程度的方法。

教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：利用樣本的離散程度估計(jì)總體的離散程度；

2.邏輯推理：通過(guò)課堂探究逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.

3.數(shù)學(xué)建模：掌握方差和標(biāo)準(zhǔn)差，利用方差和標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體的離散程度。

4.直觀想象：通過(guò)樣本標(biāo)準(zhǔn)差等數(shù)據(jù)直觀估計(jì)總體的離散程度；

5.數(shù)學(xué)運(yùn)算:能夠正確計(jì)算樣本的標(biāo)準(zhǔn)差或方差；

6.數(shù)據(jù)分析:通過(guò)經(jīng)歷提出問(wèn)題—推導(dǎo)過(guò)程—得出結(jié)論—例題講解—練習(xí)鞏固的過(guò)程，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性和嚴(yán)密性。

重點(diǎn)

方差與標(biāo)準(zhǔn)差，并利用方差與標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體的離散趨勢(shì)

難點(diǎn)

方差與標(biāo)準(zhǔn)差

教學(xué)過(guò)程

導(dǎo)入新課

問(wèn)題導(dǎo)入：

問(wèn)題一：有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4，乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 ，如果你是教練，你如何對(duì)兩位運(yùn)動(dòng)員的設(shè)計(jì)情況作出評(píng)價(jià)？如果這是一次選拔性考核，你應(yīng)當(dāng)如何做出選擇？

通過(guò)上述數(shù)據(jù)計(jì)算得出：甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員射擊成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是7。

從這三個(gè)數(shù)據(jù)來(lái)看，兩名運(yùn)動(dòng)員沒(méi)有差別。

根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出頻率分布直方圖，如下：

由上圖發(fā)現(xiàn)：甲的成績(jī)比較分散，乙的成績(jī)相對(duì)集中。

即甲的成績(jī)波動(dòng)幅度較大，而乙的成績(jī)比較穩(wěn)定。

可見(jiàn)，他們的射擊成績(jī)是存在差異的。

問(wèn)題二：上述問(wèn)題中，甲、乙的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)相同，但二者的射擊成績(jī)存在差異，那么，如何度量這種差異呢？

我們可以利用極差進(jìn)行度量。

根據(jù)上述數(shù)據(jù)計(jì)算得：甲的極差=10-4=6

乙的極差=9-5=4

極差在一定程度上刻畫(huà)了數(shù)據(jù)的離散程度。

由極差發(fā)現(xiàn)甲的成績(jī)波動(dòng)范圍比乙的大。

但由于極差只使用了數(shù)據(jù)中最大、最小兩個(gè)值的信息，所含的信息量很少。也就是說(shuō)，極差度量出的差異誤差較大。

問(wèn)題三：你還能想出其他刻畫(huà)數(shù)據(jù)離散程度的辦法嗎？

我們知道，如果射擊的成績(jī)很穩(wěn)定，那么大多數(shù)的射擊成績(jī)離平均成績(jī)不會(huì)太遠(yuǎn)；

相反，如果射擊的成績(jī)波動(dòng)幅度很大，那么大多數(shù)的射擊成績(jī)離平均成績(jī)會(huì)比較遠(yuǎn)。

因此，我們可以通過(guò)這兩組射擊成績(jī)與它們的平均成績(jī)的“平均距離”來(lái)度量成績(jī)的波動(dòng)幅度。

學(xué)生利用問(wèn)題情景，引出本節(jié)新課內(nèi)容——方差與標(biāo)準(zhǔn)差。

學(xué)生觀察頻率分布直方圖，判斷兩名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)的離散情況。

設(shè)置問(wèn)題情境，回顧上節(jié)課知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力，并引出本節(jié)新課。

培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)形結(jié)合的方法和能力。

講授新課

知識(shí)探究（一）：方差與標(biāo)準(zhǔn)差

思考一：如何定義“平均距離”？標(biāo)準(zhǔn)差：考察樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小最常用的統(tǒng)計(jì)量，是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示。

標(biāo)準(zhǔn)差的表達(dá)式

.方差：標(biāo)準(zhǔn)差的平方

方差的表達(dá)式

思考二：標(biāo)準(zhǔn)差的范圍是什么？標(biāo)準(zhǔn)差為0的一組數(shù)據(jù)有什么特點(diǎn)？

s=0表示這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)到平均數(shù)的距離都是0，這組數(shù)據(jù)的每個(gè)數(shù)據(jù)是相等的。

思考三：標(biāo)準(zhǔn)差和方差是怎樣刻畫(huà)數(shù)據(jù)的離散程度的？

標(biāo)準(zhǔn)差和方差刻畫(huà)了數(shù)據(jù)的離散程度或波動(dòng)幅度。

標(biāo)準(zhǔn)差（或方差）越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；

標(biāo)準(zhǔn)差（或方差）越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定。

顯然，在刻畫(huà)數(shù)據(jù)的分散程度上，方差和標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的；但在實(shí)際問(wèn)題中，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差。

在實(shí)際問(wèn)題中，總體平均數(shù)和總體標(biāo)準(zhǔn)差都是未知的，就像用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)一樣，通常也用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差。

在隨機(jī)抽樣中，樣本標(biāo)準(zhǔn)差依賴于樣本的選取，具有隨機(jī)性。

接下來(lái)我們?cè)賮?lái)探究問(wèn)題一：有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4，乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 ，如果你是教練，你如何對(duì)兩位運(yùn)動(dòng)員的設(shè)計(jì)情況作出評(píng)價(jià)？如果這是一次選拔性考核，你應(yīng)當(dāng)如何做出選擇？

我們可以根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)判斷兩名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)的離散程度，計(jì)算可得s甲=2，s乙≈1.095.

即s甲>s乙，由此可知，甲的成績(jī)離散程度大，乙的成績(jī)離散程度小。由此可以估計(jì)，乙比甲的成績(jī)穩(wěn)定。

因此，如果要從這兩名選手中選擇一名參賽，要看一下他們的平均成績(jī)?cè)谒袇①愡x手中的位置。

如果兩人都排在前面，就選成績(jī)穩(wěn)定的乙選手，否則選甲。

例1、在對(duì)樹(shù)人中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身高的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生23人，其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均數(shù)和方差分別為160.6和38.62.你能由這些數(shù)據(jù)計(jì)算出總樣本的方差，并對(duì)高一年級(jí)全體學(xué)生的身高方差作出估計(jì)嗎？樣本標(biāo)準(zhǔn)差刻畫(huà)了數(shù)據(jù)離平均數(shù)波動(dòng)的幅度大小，平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差一起能反映數(shù)據(jù)取值的信息。

思考四：你能根據(jù)下圖計(jì)算出樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差嗎？

例2、甲乙兩人同時(shí)生產(chǎn)內(nèi)徑為24mm的一種零件。為了對(duì)兩人的生產(chǎn)質(zhì)量進(jìn)行評(píng)比，從他們生產(chǎn)的零件中各抽出5件，測(cè)得其內(nèi)徑尺寸如下(單位：mm )：

甲：22，25，23，23，27，乙：25，24，22，25，24。從生產(chǎn)的零件內(nèi)徑尺寸看，誰(shuí)生產(chǎn)的質(zhì)量較高？

解：即 甲、乙生產(chǎn)的零件內(nèi)徑的平均數(shù)相等，但乙的穩(wěn)定程度高，

所以，乙生產(chǎn)的零件的質(zhì)量比甲的高一些。

課堂鞏固

1、某校舉行2014年元旦匯演，七位評(píng)委為某班的小品打出的分?jǐn)?shù)為：79，84，84，87，84，86，93. 去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為_(kāi)_85___、___1.6__。

2、拋硬幣20次，正面12次，反面8次．如果拋到正面得3分，拋到反面得1分，則平均得分是__2.2__，得分的方差是__0.96_．

3、甲、乙兩人數(shù)學(xué)成績(jī)(單位：分)分別為：

甲：75 78 81 82 87 89 92 93 94 95 102，乙：81 84 86 88 93 98 98 99 103 105 110

（1）分別求出這兩名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差；

（2）比較這兩名同學(xué)的成績(jī)，談?wù)勀愕目捶ā?/p>

解：（1）（2）

乙的數(shù)學(xué)平均分比的甲高好多，但穩(wěn)定性稍差一點(diǎn)知識(shí)總結(jié)

平均數(shù)、方差性質(zhì)

課堂鞏固

知識(shí)探究（二）：統(tǒng)計(jì)分析報(bào)告

思考五：近年來(lái)，我國(guó)肥胖人數(shù)的規(guī)模急速增長(zhǎng)，肥胖人群有很大的心血管安全隱患。

目前，國(guó)際上常用身體質(zhì)量指數(shù)（BMI）來(lái)衡量人體胖瘦程度以及是否健康，其計(jì)算公式為

BMI=體重（單位：kg）/身高2（單位：m2）。中國(guó)成人的BMI數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)為BMI<18.5為偏瘦；18.5≤BMI<23.9未正常；24≤BMI<27.9為偏胖；BMI≥28為肥胖。

某公司想要了解公司員工的身體肥胖情況，你認(rèn)為有哪些工作需要完成？

1、從公司員工體檢數(shù)據(jù)中，對(duì)男、女員工分別采用分層抽樣抽取樣本，并計(jì)算得到BMI值；

2、將上述樣本數(shù)據(jù)用頻率分布直方圖進(jìn)行統(tǒng)計(jì)；

3、根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)量判斷樣本的分布以及差異，并對(duì)男、女員工在肥胖狀況上的差異進(jìn)行比較；

4、根據(jù)上述樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)該公司員工胖瘦程度的整體情況；

5、根據(jù)總體的估計(jì)對(duì)該公司員工提出控制體重的建議。

即統(tǒng)計(jì)案例分析報(bào)告包括以下幾個(gè)過(guò)程：

思考六：統(tǒng)計(jì)分析報(bào)告主要由哪幾部分組成？

1、標(biāo)題；

2、前言

簡(jiǎn)單交代調(diào)查的目的、方法、范圍等背景情況，使讀者了解調(diào)查的基本情況；

3、主體

展示數(shù)據(jù)分析的全過(guò)程：

首先要明確所關(guān)心的問(wèn)題是什么，說(shuō)明數(shù)據(jù)蘊(yùn)含的信息；

根據(jù)數(shù)據(jù)分析的需要，說(shuō)明如何選擇合適的圖表描述和表達(dá)數(shù)據(jù)；從樣本數(shù)據(jù)中提取能刻畫(huà)其特征的量，如均值、方差等，用于比較男、女員工在肥胖狀況上的差異；

通過(guò)樣本估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，分析公司員工胖瘦程度的整體情況。

4、結(jié)尾

對(duì)主體部分的內(nèi)容進(jìn)行概括，結(jié)合控制體重的一般方法，提出控制公司員工體重的建議。

生根據(jù)上述問(wèn)題，探究“平均距離”。

根據(jù)上述推斷得出標(biāo)準(zhǔn)差和方差的定義以及計(jì)算公式。

考慮標(biāo)準(zhǔn)差為0 的特殊情況。

學(xué)生分組合作，回到問(wèn)題一，探究得出方差與標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)總體數(shù)據(jù)離散程度的影響。

通過(guò)例題加強(qiáng)理解方差與標(biāo)準(zhǔn)差的意義。

利用思考題，讓學(xué)生對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差和方差進(jìn)一步進(jìn)行探索。

通過(guò)例題加強(qiáng)理解方差與標(biāo)準(zhǔn)差的意義。

學(xué)生和教師共同探究完成3個(gè)練習(xí)題。

探索平均數(shù)、方差的性質(zhì)。

總結(jié)、鞏固平均數(shù)、方差的性質(zhì)。

通過(guò)抽樣、統(tǒng)計(jì)等過(guò)程，讓學(xué)生思考統(tǒng)計(jì)分析報(bào)告主要有哪幾個(gè)方面。

利用問(wèn)題情境探究得出“平均距離”,培養(yǎng)學(xué)生探索的精神.

給學(xué)生養(yǎng)成先推倒后總結(jié)的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

數(shù)學(xué)知識(shí)是由特殊到一般或由一般到特殊的推導(dǎo)過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成全面推倒知識(shí)的習(xí)慣。

通過(guò)分組合作交流，培養(yǎng)學(xué)生合作的精神和探索的能力。

利用例題加深本節(jié)課的內(nèi)容。

利用思考題讓學(xué)生探究本節(jié)課的問(wèn)題，讓學(xué)生形成知識(shí)體系，培養(yǎng)學(xué)生整體思考的能力。

利用例題加深本節(jié)課的內(nèi)容。

通過(guò)這3個(gè)題，鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，發(fā)散學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和對(duì)數(shù)學(xué)的探索精神。

培養(yǎng)學(xué)生探索知識(shí)的能力。

培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)知識(shí)的能力。

理論聯(lián)系實(shí)際，無(wú)論是抽樣還是統(tǒng)計(jì)，都是來(lái)源于生活的實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活。