等比數(shù)列的概念(2)教學(xué)設(shè)計(jì)

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

A. 能夠運(yùn)用等比數(shù)列的知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．

B．能夠運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題．

1.數(shù)學(xué)抽象：等比數(shù)列的性質(zhì)

2.邏輯推理：類(lèi)比等差數(shù)列性質(zhì)推導(dǎo)等比數(shù)列性質(zhì)

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：等比數(shù)列的運(yùn)用

4.數(shù)學(xué)建模：運(yùn)用等比數(shù)列解決實(shí)際問(wèn)題

教學(xué)過(guò)程

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、溫故知新

二、典例解析

例4. 用 10 000元購(gòu)買(mǎi)某個(gè)理財(cái)產(chǎn)品一年.

（1）若以月利率的復(fù)利計(jì)息，12個(gè)月能獲得多少利息（精確到1元）？

（2）若以季度復(fù)利計(jì)息，存4個(gè)季度，則當(dāng)每季度利率為多少時(shí)，按季結(jié)算的利息不少于按月結(jié)算的利息（精確到）？

分析：復(fù)利是指把前一期的利息與本金之和算作本金，再計(jì)算下一期的利息.所以若原始本金為元，每期的利率為，則從第一期開(kāi)始，各期的本利和, ，…構(gòu)成等比數(shù)列.

解：（1）設(shè)這筆錢(qián)存?zhèn)€月以后的本利和組成一個(gè)數(shù)列，

則是等比數(shù)列，

首項(xiàng)，公，

所以.

所以，12個(gè)月后的利息為（元）.

解：（2）設(shè)季度利率為，這筆錢(qián)存?zhèn)€季度以后的本利和組成一個(gè)數(shù)列，則也是一個(gè)等比數(shù)列，

首項(xiàng)，公比為，

于是.

因此，以季度復(fù)利計(jì)息，存4個(gè)季度后的利息為元.

解不等式，得.

所以，當(dāng)季度利率不小于時(shí)，按季結(jié)算的利息不少于按月結(jié)算的利息.

一般地，涉及產(chǎn)值增長(zhǎng)率、銀行利息、細(xì)胞繁殖等實(shí)際問(wèn)題時(shí)，往往與等比數(shù)列有關(guān)，可建立等比數(shù)列模型進(jìn)行求解．

跟蹤訓(xùn)練1. 2017年，某縣甲、乙兩個(gè)林場(chǎng)森林木材的存量分別為16a和25a，

甲林場(chǎng)木材存量每年比上一年遞增25%，而乙林場(chǎng)木材存量每年比上一年遞減20%.

(1)哪一年兩林場(chǎng)木材的總存量相等？

(2)兩林場(chǎng)木材的總量到2021年能否翻一番？

解：(1)由題意可得

16a(1＋25%)n－1＝25a(1－20%)n－1，

解得n＝2，

故到2019年兩林場(chǎng)木材的總存量相等．

(2)令n＝5，則a5＝16a4＋25a4<2(16a＋25a)，

故到2021年不能翻一番．

例5.已知數(shù)列的首項(xiàng).

（1）若為等差數(shù)列，公差，證明數(shù)列為等比數(shù)列；

（2）若為等比數(shù)列，公比，證明數(shù)列為等差數(shù)列.

分析：根據(jù)題意，需要從等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義出發(fā)，利用指數(shù)、對(duì)數(shù)的知識(shí)進(jìn)行證明。

證明（1）：由，得的通項(xiàng)公式為.

設(shè)，則： ，

又,

所以，是以 27為首項(xiàng)，9為公比的等比數(shù)列.

證明（2）：由, ,得

兩邊取以3為底的對(duì)數(shù)，得

所以 .又 ，

所以，是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列.

是等差數(shù)列，則數(shù)列是等比數(shù)列；

2.若數(shù)列是各項(xiàng)均為正的等比數(shù)列，則數(shù)列是等差數(shù)列

例6.某工廠去年12月試產(chǎn)1050個(gè)高新電子產(chǎn)品，產(chǎn)品合格率為.從今年1月開(kāi)始，工廠在接下來(lái)的兩年中將生產(chǎn)這款產(chǎn)品.1月按去年12月的產(chǎn)量和產(chǎn)品合格率生產(chǎn)，以后每月的產(chǎn)量都在前一個(gè)月的基礎(chǔ)上提高，產(chǎn)品合格率比前一個(gè)月增加，那么生產(chǎn)該產(chǎn)品一年后，月不合格品的數(shù)量能否控制在100個(gè)以?xún)?nèi)？

分析：設(shè)從今年1月起各月的產(chǎn)量及合格率分別構(gòu)成數(shù)列，,則各月不合格品的數(shù)量構(gòu)成數(shù)列，由題意可知，數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列,由于數(shù)列既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列，所以可以先列表觀察規(guī)律，再尋求問(wèn)題的解決方法.

解：（1）設(shè)從今年1月起，各月的產(chǎn)量及不合格率分別構(gòu)成數(shù)列，由題意，

則從今年1月起，各月不合格產(chǎn)品的數(shù)量是

由計(jì)算工具計(jì)算（精確到0.1），并列表

觀察發(fā)現(xiàn)，數(shù)列先遞增，在第6項(xiàng)以后遞減，所以只要設(shè)法證明當(dāng)時(shí)，遞減，且<100即可.

由 ，

得

所以，當(dāng)時(shí)，遞減

又<100,

所以當(dāng)24時(shí), <100

所以，生產(chǎn)該產(chǎn)品一年后，月不合格的數(shù)量能控制在100個(gè)以?xún)?nèi).

通過(guò)與等差數(shù)列進(jìn)行對(duì)比，發(fā)展學(xué)生類(lèi)比思維能力，加強(qiáng)記憶。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

通過(guò)運(yùn)用等比數(shù)列模型，解決實(shí)際問(wèn)題。發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)。

通過(guò)典型例題，加深對(duì)等差與等比數(shù)列概念的理解，體會(huì)等差與等比數(shù)列的內(nèi)在聯(lián)系。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素。

通過(guò)典型例題，加深學(xué)生對(duì)等比數(shù)列綜合運(yùn)用能力。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1．（2021江蘇南通市高二期末）在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指在沒(méi)有外力介入，同時(shí)所有人都沒(méi)有免疫力的情況下，一個(gè)感染者平均傳染的人數(shù). 一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過(guò)程中傳染的概率決定，假定某種傳染病的基本傳染數(shù)，那么感染人數(shù)由1個(gè)初始感染者增加到2000人大約需要的傳染輪數(shù)為（ ）

注：初始感染者傳染個(gè)人為第一輪傳染，這個(gè)人再傳染個(gè)人為第二輪感染.

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】B

【詳解】設(shè)經(jīng)過(guò)第輪傳染，感染人數(shù)為，經(jīng)過(guò)第一輪感染后，，經(jīng)過(guò)第二輪感染后，，于是可以得知經(jīng)過(guò)傳染，每一輪感染總?cè)藬?shù)構(gòu)成等比數(shù)列，所以經(jīng)過(guò)第輪傳染，感染人數(shù)為，當(dāng)時(shí)，解得，

因此感染人數(shù)由1個(gè)初始感染者增加到2000人大約需要的傳染輪數(shù)為6輪.

2．（2021北京高二期末）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則 .

【答案】10

【詳解】解：因?yàn)榈缺葦?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且

所以

3.已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＝2an＋n－4.

(1)求a1的值．

(2)若bn＝an－1，試證明數(shù)列{bn}為等比數(shù)列．

分析：(1)由n＝1代入Sn＝2an＋n－4求得；(2)先由Sn＝2an＋n－4，利用Sn和an的關(guān)系得{an}的遞推關(guān)系，然后構(gòu)造出數(shù)列{an－1}利用定義證明．

解: (1)因?yàn)镾n＝2an＋n－4，

所以當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝2a1＋1－4，解得a1＝3.

(2)證明：因?yàn)镾n＝2an＋n－4，

所以當(dāng)n≥2時(shí)，

Sn－1＝2an－1＋(n－1)－4，

Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，即an＝2an－1－1，

所以an－1＝2(an－1－1)，

又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1，

且b1＝a1－1＝2≠0，

所以數(shù)列{bn}是以b1＝2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．

4.已知a,b,c,x,y,z都是不等于1的正數(shù),且ax=by=cz,成等差數(shù)列.求證:a,b,c成等比數(shù)列.

證明:令ax=by=cz=m(m>0).

則x=logam,于是=logma,同理=logmb,=logmc,

因?yàn)槌傻炔顢?shù)列,

所以,即2logmb=logma+logmc.

因此logmb2=logm(ac),故b2=ac.

所以a,b,c成等比數(shù)列.

通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。