拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（1）教學(xué)設(shè)計(jì)

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

A.掌握拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).

B.歸納、對(duì)比四種方程所表示的拋物線的幾何性質(zhì)的異同.

C.掌握直線與拋物線位置關(guān)系的判斷。

1.數(shù)學(xué)抽象：拋物線的幾何性質(zhì)

2.邏輯推理：運(yùn)用拋物線的方程推導(dǎo)其幾何性質(zhì)

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用拋物線的方程推導(dǎo)其幾何性質(zhì)

4.直觀想象：拋物線幾何性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用

教學(xué)過(guò)程

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、問(wèn)題導(dǎo)學(xué)

類比用方程研究橢圓雙曲線幾何性質(zhì)的過(guò)程與方法，

y2 = 2px (p＞0)

你認(rèn)為應(yīng)研究拋物線的哪些幾何性質(zhì)，如何研究這些性質(zhì)？

1. 范圍

拋物線 y2 = 2px (p＞0) 在 y 軸的右側(cè)，開(kāi)口向右，這條拋物線上的任意一點(diǎn)M 的坐標(biāo) (x, y) 的橫坐標(biāo)滿足不等式 x ≥ 0；當(dāng)x 的值增大時(shí)，|y| 也增大，這說(shuō)明拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸．拋物線是無(wú)界曲線．

2. 對(duì)稱性

觀察圖象，不難發(fā)現(xiàn)，拋物線 y2 = 2px (p＞0)關(guān)于 x 軸對(duì)稱，我們把拋物線的對(duì)稱軸叫做拋物線的軸．拋物線只有一條對(duì)稱軸．

3. 頂點(diǎn)

拋物線和它軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn).拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是坐標(biāo)原點(diǎn) (0, 0) ．

4. 離心率

拋物線上的點(diǎn)M 到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率. 用 e 表示，e = 1．

探究

如果拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是

那么拋物線的范圍（開(kāi)口方向）、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率中，哪些與①所表示的拋物線是相同的？哪些是有區(qū)別的？

拋物線四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)

1.對(duì)以上四種位置不同的拋物線和它們的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行對(duì)比、分析,

其共同點(diǎn):(1)頂點(diǎn)都為原點(diǎn);

(2)對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸;

(3)準(zhǔn)線與對(duì)稱軸垂直,垂足與焦點(diǎn)分別關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,它們與原點(diǎn)的距離都等于一次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的;

(4)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離均為p.

其不同點(diǎn):(1)對(duì)稱軸為x軸時(shí),方程的右端為2px,左端為y2;對(duì)稱軸為y軸時(shí),方程的右端為2py,左端為x2;(2)開(kāi)口方向與x軸(或y軸)的正半軸相同,焦點(diǎn)在x軸(或y軸)的正半軸上,方程的右端取正號(hào);開(kāi)口方向與x軸(或y軸)的負(fù)半軸相同,焦點(diǎn)在x軸(或y軸)的負(fù)半軸上,方程的右端取負(fù)號(hào).

2.只有焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,頂點(diǎn)是原點(diǎn)的拋物線的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程.

1. 判斷

(1)拋物線關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱.( )

(2)拋物線只有一個(gè)焦點(diǎn),一條對(duì)稱軸,無(wú)對(duì)稱中心.( )

(3)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程雖然各不相同,但是其離心率都相同.( )

答案:(1) (2)√ (3)√

2.思考：怎樣根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷拋物線的對(duì)稱軸和開(kāi)口方向?

解析:一次項(xiàng)的變量若為x(或y),則x軸(或y軸)是拋物線的對(duì)稱軸,一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)決定開(kāi)口方向.如果y是一次項(xiàng),負(fù)時(shí)向下,正時(shí)向上.

如果x是一次項(xiàng),負(fù)時(shí)向左,正時(shí)向右.

3. 以x軸為對(duì)稱軸的拋物線的通徑(過(guò)焦點(diǎn)且與對(duì)稱軸垂直的弦)長(zhǎng)為8,若拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),則其方程為( )

A.y2=8x B.y2=-8x

C.y2=8x或y2=-8x D.x2=8y或x2=-8y

解析:設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0),依題意得x=,代入y2=2px或y2=-2px得|y|=p,∴2|y|=2p=8,p=4.∴拋物線方程為y2=8x或y2=-8x.

答案:C

問(wèn)題思考

(1)掌握拋物線的性質(zhì),重點(diǎn)應(yīng)抓住“兩點(diǎn)”“兩線”“一率”“一方向”,它們分別指的是什么?

提示:“兩點(diǎn)”是指拋物線的焦點(diǎn)和頂點(diǎn);“兩線”是指拋物線的準(zhǔn)線和對(duì)稱軸;“一率”是指離心率1;“一方向”是指拋物線的開(kāi)口方向.

(2)拋物線的性質(zhì)與橢圓和雙曲線性質(zhì)的主要區(qū)別有哪些?

提示:拋物線的離心率等于1,它只有一個(gè)焦點(diǎn)、一個(gè)頂點(diǎn)、一條對(duì)稱軸和一條準(zhǔn)線.它沒(méi)有中心,通常稱拋物線為無(wú)心圓錐曲線,而稱橢圓和雙曲線為有心圓錐曲線.

二、典例解析

例3. 已知軸，頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M

求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。

解：因?yàn)檩S，它的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為

因?yàn)辄c(diǎn)M

解得=因此，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是

頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的拋物線有幾條？求出這些拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

跟蹤訓(xùn)練1 .設(shè)拋物線y=mx2(m≠0)的準(zhǔn)線與直線y=1的距離為3,求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

錯(cuò)解:由y=mx2(m≠0)可知其準(zhǔn)線方程為y=-.

由題意知-=-2,解得m=8,

故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y=8x2.

錯(cuò)因分析本題在解答過(guò)程中容易出現(xiàn)兩個(gè)錯(cuò)誤:一是不能正確理解拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式,錯(cuò)誤地將所給方程看成是拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,得到準(zhǔn)線方程為y=- ;

二是得到準(zhǔn)線方程后,只分析其中的一種情況,而忽略了另一種情況,只得到了一個(gè)解.

正解:y=mx2(m≠0)可化為x2=y,其準(zhǔn)線方程為y=-.由題意知-=-2或-=4,

解得m=或m=-,

故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=8y或x2=-16y.

例4 .斜率為 1 的直線經(jīng)過(guò)拋物線 y2 = 4x 的焦點(diǎn)，與拋物線相交于兩點(diǎn)A、B，求焦點(diǎn)弦長(zhǎng)AB的長(zhǎng)．

解：方法一：由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)為F (1，0)，

所以直線AB的方程為，即， ①

將方程①代入拋物線方程，化簡(jiǎn)得，

解這個(gè)方程，得，，

將，代入方程①中，

，，即A(，)，B(，)，

∴.

解：方法二：由拋物線的定義可知，|AF|=|AD|=x1＋1，|BF|＝|BC|= x2＋1，

于是|AB|=|AF|＋|BF|= x1＋x2＋2．

在方法一中得到方程x2－6x＋1=0后，

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可以直接得到x1＋x2＝6，

于是立即可以求出|AB|=6＋2=8．

方法三：拋物線y2＝4x中2p＝4，直線的

傾斜角為所以焦點(diǎn)弦長(zhǎng).

直線和拋物線的位置關(guān)系有三種：相交、相切、相離

將直線方程和拋物線方程聯(lián)立，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于 x（或 y 的）

方程組：Ax2 + Bx + C = 0（或Ay2 + By + C = 0），其中A，B，C 為常數(shù).

若A = 0，則直線和拋物線相交（直線與拋物線的對(duì)稱軸平行），有一個(gè)交點(diǎn)；

若A ≠ 0，計(jì)算判別式 Δ＝B2 －4AC ：

若 Δ＞0，則直線和拋物線相交（有兩個(gè)交點(diǎn)）；

若 Δ = 0，則直線和拋物線相切（有一個(gè)交點(diǎn)）；

若 Δ＜0，則直線和拋物線相離（無(wú)交點(diǎn)）.

跟蹤訓(xùn)練2 (1)過(guò)定點(diǎn)P(0,1)作與拋物線y2＝2x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有幾條？

(2)若直線l：y＝(a＋1)x－1與曲線C：y2＝ax(a≠0)恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)a的取值集合．

[思路探究] (1)分斜率存在、不存在兩種情況，存在時(shí)將直線方程代入拋物線方程，轉(zhuǎn)化為Δ＝0求解；不存在時(shí)顯然滿足題意．

(2)→

→分類討論方程有一解時(shí)a的取值

[解] (1)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線x＝0，符合題意．

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線方程為y＝kx＋1，當(dāng)k＝0時(shí)，直線l的方程為y＝1，滿足直線與拋物線y2＝2x僅有一個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)k≠0時(shí)，將直線方程y＝kx＋1代入y2＝2x，消去y得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.由Δ＝0，得k＝，直線方程為y＝x＋1.故滿足條件的直線有三條．

(2)因?yàn)橹本€l與曲線C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，所以方程組只有一組實(shí)數(shù)解，消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，即(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0 ①.

(ⅰ)當(dāng)a＋1＝0，即a＝－1時(shí)，方程①是關(guān)于x的一元一次方程，解得x＝－1，這時(shí)，原方程組有唯一解

(ⅱ)當(dāng)a＋1≠0，即a≠－1時(shí)，方程①是關(guān)于x的一元二次方程．

令Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0，解得a＝0(舍去)或a＝－.

所以原方程組有唯一解

綜上，實(shí)數(shù)a的取值集合是.

通過(guò)，類比橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)的學(xué)習(xí)過(guò)程，學(xué)習(xí)拋物線的幾何性質(zhì)。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng)。

通過(guò)拋物線幾何性質(zhì)的討論，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

通過(guò)典型例題，熟練掌握根據(jù)幾何條件求拋物線的方法，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模，數(shù)形結(jié)合，及方程思想，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素

通過(guò)典型例題，熟練掌握直線與拋物線的位置關(guān)系的方法，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模，數(shù)形結(jié)合，及方程思想，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1．若拋物線y2＝2x上有兩點(diǎn)A、B且AB垂直于x軸，若|AB|＝2，則拋物線的焦點(diǎn)到直線AB的距離為( )

A． B． C． D．

A [線段AB所在的直線方程為x＝1，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則焦點(diǎn)到直線AB的距離為1－＝.]

2．在拋物線y2＝16x上到頂點(diǎn)與到焦點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)為( )

A．(4，2) B．(4，2) C．(2,4) D．(2，4)

D [拋物線y2＝16x的頂點(diǎn)O(0,0)，焦點(diǎn)F(4,0)，設(shè)P(x，y)符合題意，則有

??

所以符合題意的點(diǎn)為(2，4)．]

3．已知AB是過(guò)拋物線2x2＝y(tǒng)的焦點(diǎn)的弦，若|AB|＝4，則AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)是________．

[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線2x2＝y(tǒng)，可得p＝.

∵|AB|＝y(tǒng)1＋y2＋p＝4，

∴y1＋y2＝4－＝，故AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)是＝.]

4. 已知拋物線y2=8x.

(1)求出該拋物線的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程、對(duì)稱軸、變量x的范圍;

(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為頂點(diǎn),作拋物線的內(nèi)接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦點(diǎn)F是△OAB的重心,求△OAB的周長(zhǎng).

解:(1)拋物線y2=8x的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程、對(duì)稱軸、變量x的范圍分別為(0,0),(2,0),x=-2,x軸,x≥0.

(2)如圖所示,由|OA|=|OB|可知AB⊥x軸,垂足為點(diǎn)M,

又焦點(diǎn)F是△OAB的重心,則|OF|=|OM|. 因?yàn)镕(2,0),所以|OM|=|OF|=3,所以M(3,0).故設(shè)A(3,m),代入y2=8x得m2=24, 所以m=2或m=-2,所以A(3,2),B(3,-2),所以|OA|=|OB|=,所以△OAB的周長(zhǎng)為2+4.

5．已知點(diǎn)P(1，m)是拋物線C：y2＝2px上的點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，且|PF|＝2，直線l：y＝k(x－1)與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)A，B.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若|AB|＝8，求k的值．

[解] (1)拋物線C：y2＝2px的準(zhǔn)線為x＝－，

由|PF|＝2得：1＋＝2，得p＝2.所以拋物線的方程為y2＝4x.

(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由

可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ＝16k2＋16＞0，

∴x1＋x2＝.

∵直線l經(jīng)過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F，

∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8，

解得k＝1，所以k的值為1或－1.

通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。