拋物線的簡單幾何性質(zhì)（2）教學(xué)設(shè)計

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

A.掌握拋物線的幾何性質(zhì)及其簡單應(yīng)用．

B.掌握直線與拋物線的位置關(guān)系的判斷及相關(guān)問題．

C. 掌握拋物線中的定值與定點問題．

1.數(shù)學(xué)抽象：拋物線的幾何性質(zhì)

2.邏輯推理：運用拋物線的性質(zhì)平行

3.數(shù)學(xué)運算：拋物線中的定值與定點問題

4.直觀想象：拋物線幾何性質(zhì)的簡單應(yīng)用

教學(xué)過程

教學(xué)設(shè)計意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、問題導(dǎo)學(xué)

拋物線四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)

二、直線與拋物線的位置關(guān)系

設(shè)直線l:y=kx+m,拋物線:y²=2px(p>0),將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于x的方程k²x²+2(km-p)x+m²=0.

(1)若k≠0,當(dāng)Δ>0時,直線與拋物線相交,有兩個交點;

當(dāng)Δ=0時,直線與拋物線相切,有一個切點;

當(dāng)Δ<0時,直線與拋物線相離,沒有公共點.

(2)若k=0,直線與拋物線有一個交點,此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.因此直線與拋物線有一個公共點是直線與拋物線相切的必要不充分條件.

二、典例解析

例5.過拋物線焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，通過點A和拋物

線頂點的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點D，求證：直線DB平行于拋物線

的對稱軸．

【分析】設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y²＝2px（p＞0）．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直線OA的方程為：＝＝，

可得y_D＝．設(shè)直線AB的方程為：my＝x﹣，與拋物線的方程聯(lián)立化為y²﹣2pm﹣p²＝0，

利用根與系數(shù)的關(guān)系可得．可得y_D＝y(tǒng)₂．即可證明．

【解答】證明：設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y²＝2px（p＞0）．

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．設(shè)直線AB的方程為：my＝x﹣，

聯(lián)立，化為y²﹣2pm﹣p²＝0，

∴．∴．∴y_D＝y(tǒng)₂．

∴直線DB平行于拋物線的對稱軸．例6. 如圖，已知定點B軸于點, 是線段上任意一點,軸于點, 于點,相交于點P，求P點的軌跡方程。

解：設(shè)點P , M ,其中則點E的坐標(biāo)為

所以點P的橫坐標(biāo)滿足

直線OE的方程為③

因為點P在OE上，所以點P的坐標(biāo) 滿足③

將代入③，消去得，

即P點的軌跡方程。

例6中，設(shè)點B關(guān)于的對稱點為A，則方程

對應(yīng)的軌跡是常見的拋物拱AOB.拋物拱在現(xiàn)實生活中有許多原型，如橋拱、衛(wèi)星接收天線等，拋擲出的鉛球在天空中劃過的軌跡也是拋物拱一部分。

例7. 已知動圓經(jīng)過定點D(1,0),且與直線x=-1相切,設(shè)動圓圓心E的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程.

(2)設(shè)過點P(1,2)的直線l₁,l₂分別與曲線C交于A,B兩點,直線l₁,l₂的斜率存在,且傾斜角互補.證明:直線AB的斜率為定值.

思路分析:(1)由拋物線的定義可知E的軌跡為以D為焦點,以x=-1為準(zhǔn)線的拋物線;

(2)設(shè)l₁,l₂的方程,聯(lián)立方程組消元解出A,B的坐標(biāo),代入斜率公式計算k_AB.

(1)解:∵動圓經(jīng)過定點D(1,0),且與直線x=-1相切,

∴E到點D(1,0)的距離等于E到直線x=-1的距離,

∴E的軌跡是以D(1,0)為焦點,以直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線.

∴曲線C的方程為y²=4x.

(2)證明:設(shè)直線l₁的方程為y=k(x-1)+2.

∵直線l₁,l₂的斜率存在,且傾斜角互補,

∴l₂的方程為y=-k(x-1)+2.

聯(lián)立得方程組消元得k²x²-(2k²-4k+4)x+(k-2)²=0.

設(shè)A(x₁,y₁),則x₁=.

同理,設(shè)B(x₂,y₂),可得x₂=,

∴x₁+x₂=,x₁-x₂=.

∴y₁-y₂=[k(x₁-1)+2]-[-k(x₂-1)+2]=k(x₁+x₂)-2k=-2k=.

∴k_AB==-1.

∴直線AB的斜率為定值-1.

定值與定點問題的求解策略

1.欲證某個量為定值,先將該量用某變量表示,通過變形化簡若能消掉此變量,即證得結(jié)論,所得結(jié)果即為定值.

2.尋求一條直線經(jīng)過某個定點的常用方法:(1)通過方程判斷;(2)對參數(shù)取幾個特殊值探求定點,再證明此點在直線上;(3)利用曲線的性質(zhì)(如對稱性等),令其中一個變量為定值,再求出另一個變量為定值;(4)轉(zhuǎn)化為三點共線的斜率相等或向量平行等.

跟蹤訓(xùn)練1. 已知拋物線的方程是y²=4x,直線l交拋物線于A,B兩點,設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).

(1)若弦AB的中點為(3,3),求直線l的方程;

(2)若y₁y₂=-12,求證:直線l過定點.

解:(1)因為拋物線的方程為y²=4x,則有=4x₁,=4x₂,因為弦AB的中點為(3,3),所以x₁≠x₂.

兩式相減得=4x₁-4x₂,

所以,

所以直線l的方程為y-3=(x-3),即y=x+1.

(2)當(dāng)l的斜率存在時,設(shè)l的方程為y=kx+b,代入拋物線方程,整理,得ky²-4y+4b=0,y₁y₂==-12,b=-3k,

l的方程為y=kx-3k=k(x-3),過定點(3,0).

當(dāng)l的斜率不存在時,y₁y₂=-12,則x₁=x₂=3,l過定點(3,0).

綜上,l過定點(3,0).

通過，回顧拋物線的幾何性質(zhì)及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，幫助學(xué)生整理知識。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、直觀想象的核心素養(yǎng)。

通過典例解析，綜合運用拋物線幾何性質(zhì)，進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想方法。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

通過典型例題，提升學(xué)生綜合運用能力，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素

通過典型例題，幫助學(xué)生掌握拋物線中的定值與定點問題，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模，數(shù)形結(jié)合，及方程思想，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。

三、達標(biāo)檢測

1．若拋物線y²＝2x上有兩點A，B且AB垂直于x軸，若|AB|＝2，則拋物線的焦點到直線AB的距離為( )

A． B． C． D．

【答案】A [線段AB所在的直線的方程為x＝1，拋物線的焦點坐標(biāo)為，則焦點到直線AB的距離為1－＝.]

2．若直線x－y＝2與拋物線y²＝4x交于A，B兩點，則線段AB的中點坐標(biāo)是________.

【答案】(4,2) [由得x²－8x＋4＝0，設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則x₁＋x₂＝8，y₁＋y₂＝x₁＋x₂－4＝4，故線段AB的中點坐標(biāo)為(4,2)．]

3．設(shè)直線y＝2x＋b與拋物線y²＝4x交于A，B兩點，已知弦AB的長為3，求b的值．

【答案】由消去y，得4x²＋4(b－1)x＋b²＝0.

由Δ＞0，得b＜.設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

則x₁＋x₂＝1－b，x₁x₂＝.

∴|x₁－x₂|＝＝.

∴|AB|＝|x₁－x₂|＝＝3，∴1－2b＝9，即b＝－4.

4.過拋物線的頂點O作兩條互相垂直的弦交拋物線于A、B兩點。

(1)求證:A,B兩點的橫坐標(biāo)之積,縱坐標(biāo)之積分別為定值

(2)證明：直線AB過定點；

解：設(shè)A（x₁,y₁），B（x₂,y₂），中點P（x₀,y₀）

∵ OA⊥OB

∴ k_OAk_OB=-1∴ x₁x₂+y₁y₂=0

∵ y₁²=2px₁，

y₂²=2px₂∴

∵ y₁≠0，y₂≠0

∴ y₁y₂=-4p² ∴ x₁x₂=4p²

⑵∵y₁²=2px₁,y₂²=2px₂∴（y₁-y₂）(y₁+y₂)=2p(x₁-x₂)

∴ AB過定點（2p,0）.

5.如圖,已知直線l:y=2x-4交拋物線y²=4x于A,B兩點,試在拋物線AOB這段曲線上求一點P,使△PAB的面積最大,并求出這個最大面積.

思路分析:先求出弦長|AB|,再求出點P到直線AB的距離,從而可表示出△PAB的面積,再求最大值即可.

解:由解得

∴A(4,4),B(1,-2),∴|AB|=3.

(方法1)設(shè)P(x₀,y₀)為拋物線AOB這段曲線上一點,d為點P到直線AB的距離,

則有d=|(y₀-1)²-9|.

∵-20<4,∴(y₀-1)²-9<0.

∴d=[9-(y₀-1)²].

從而當(dāng)y₀=1時,d_max=,S_max=3.

因此,當(dāng)點P的坐標(biāo)為時,△PAB的面積取得最大值,最大面積為.

(方法2)由解得

∴A(4,4),B(1,-2),∴|AB|=3.

設(shè)點P的坐標(biāo)為(4t²,4t),

∵點P(4t²,4t)在拋物線AOB這段曲線上,∴-2<4t<4,得-

由題意得點P(4t²,4t)到直線AB的距離d=.

∵當(dāng)t∈時,2<0,

∴d=,

∴當(dāng)t=時,d_max=.

此時點P的坐標(biāo)為,S_△PAB的最大值為|AB|d_max=3.

(方法3)設(shè)y=2x+m是拋物線y²=4x的切線方程.

通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。