雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(1)教學(xué)設(shè)計(jì)

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

A.掌握雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).

B.理解雙曲線離心率的定義、取值范圍和漸近線方程.

1.數(shù)學(xué)抽象：雙曲線的幾何性質(zhì)

2.邏輯推理：類比橢圓研究雙曲線的幾何性質(zhì)

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程討論幾何性質(zhì)

4.直觀想象：雙曲線的幾何性質(zhì)

教學(xué)過(guò)程

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、問(wèn)題導(dǎo)學(xué)

類比橢圓幾何性質(zhì)的研究，你認(rèn)為應(yīng)該研究雙曲線

(>0，>0)，

的哪些幾何性質(zhì)，如何研究這些性質(zhì)？

1、范圍

利用雙曲線的方程求出它的范圍，由方程可得

于是，雙曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)（，）都適合不等式，

所以 或;

2、對(duì)稱性

(>0，>0)，關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)都是對(duì)稱。

x軸、y軸是雙曲線的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是對(duì)稱中心，

又叫做雙曲線的中心。

3、頂點(diǎn)

（1）雙曲線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，叫做雙曲線的頂點(diǎn) .

頂點(diǎn)是

（2）如圖，線段叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)為2a,a叫做實(shí)半軸長(zhǎng)；線段 叫做雙曲線的虛軸，

它的長(zhǎng)為2b,b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)。

（3）實(shí)軸與虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫等軸雙曲線

4、漸近線

（1）雙曲線 (>0，>0)，的漸近線方程為：

（2）利用漸近線可以較準(zhǔn)確的畫出雙曲線的草圖

4、漸近線

慢慢靠近

5、離心率

（1）定義：e =

（2）e的范圍：e >1

（3）e的含義：

因?yàn)?/span>另外，注意到=,說(shuō)明越趨近于1，則的值越小，因此雙曲線的漸近線所夾得雙曲線區(qū)域越狹窄.

如果雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是

(>0，>0)，

那么該雙曲線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、漸近線、離心率中，

那些與焦點(diǎn)在軸上的雙曲線是有區(qū)別的？

雙曲線的幾何性質(zhì)

(1)雙曲線與橢圓的六個(gè)不同點(diǎn):

(3)共軛雙曲線:以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸,實(shí)軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線.

1.判斷

(1)雙曲線=1與=1(a>0,b>0)的形狀相同. ( )

(2)雙曲線=1與=1(a>0,b>0)的漸近線相同. ( )

(3)等軸雙曲線的漸近線互相垂直. ( )

答案:(1)√ (2) (3)√

2.圓錐曲線=1的離心率e=2,則實(shí)數(shù)m的值為( )

A.-5 B.-35 C.19 D.-11

解析:由圓錐曲線=1的離心率e=2,說(shuō)明曲線是雙曲線,

所以m<-8,∴e==2,解得m=-35.

答案:B

二、典例解析

例1 求雙曲線9y²-4x²=-36的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、離心率、漸近線方程.

解:將9y²-4x²=-36化為標(biāo)準(zhǔn)方程為=1,

即=1,所以a=3,b=2,c=.

因此頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,0),(3,0),

焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-,0),(,0),

實(shí)軸長(zhǎng)2a=6,虛軸長(zhǎng)2b=4,

離心率e=,

漸近線方程為y=x=x.

由雙曲線的方程研究其幾何性質(zhì)的注意點(diǎn)

(1)把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是解決此類題的關(guān)鍵.

(2)由標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)位置,確定a,b的值.

(3)由c²=a²+b²求出c的值,從而寫出雙曲線的幾何性質(zhì).

跟蹤訓(xùn)練1 求雙曲線nx²-my²=mn(m>0,n>0)的半實(shí)軸長(zhǎng)、半虛軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程.

解:把方程nx²-my²=mn(m>0,n>0)

化為標(biāo)準(zhǔn)方程為=1(m>0,n>0),

由此可知,半實(shí)軸長(zhǎng)a=,

半虛軸長(zhǎng)b=,c=,

焦點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),(-,0),

離心率e=,

頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-,0),(,0),

所以漸近線方程為y= x,即y=x.

例2 根據(jù)以下條件,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(1)過(guò)點(diǎn)P(3,-),離心率為;

(2)與橢圓=1有公共焦點(diǎn),且離心率e=;

(3)與雙曲線=1有共同漸近線,且過(guò)點(diǎn)(-3,2).

解:(1)若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)其方程為=1(a>0,b>0),

∵e=,∴=2,即a²=b².①

又雙曲線過(guò)P(3,-),∴=1,②

由①②得a²=b²=4,故雙曲線方程為=1.

若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,

設(shè)其方程為=1(a>0,b>0),

同理有a²=b²,③

=1,④

由③④得a²=b²=-4(舍去).綜上,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.

(2)由橢圓方程=1,知半焦距為,

∴焦點(diǎn)是F₁(-,0),F₂(,0).

因此雙曲線的焦點(diǎn)為(-,0),(,0).

設(shè)雙曲線方程為=1(a>0,b>0),

由已知條件,有解得

∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-y²=1.

(3)設(shè)所求雙曲線方程為=λ(λ≠0),將點(diǎn)(-3,2)代入得λ=,

∴雙曲線方程為,即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.

2.巧設(shè)雙曲線方程的六種方法與技巧

(5)漸近線為y=kx的雙曲線方程可設(shè)為k²x²-y²=λ(λ≠0).

(6)漸近線為axby=0的雙曲線方程可設(shè)為a²x²-b²y²=λ(λ≠0).

(1)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為=1(a>0,b>0).

(2)焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為=1(a>0,b>0).

(3)與雙曲線=1共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為=1(λ≠0,-b²<λ2).

(4)與雙曲線=1具有相同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為=λ(λ≠0).

跟蹤訓(xùn)練2 求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(1)焦點(diǎn)在x軸上,虛軸長(zhǎng)為8,離心率為;

(2)過(guò)點(diǎn)(2,0),與雙曲線=1離心率相等.

解:(1)設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1(a>0,b>0),由題意知2b=8,e=,從而b=4,c=a,

代入c²=a²+b²,得a²=9,故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.

(2)由題意知,所求雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,

故可設(shè)其方程為=λ(λ>0),

將點(diǎn)(2,0)的坐標(biāo)代入方程得λ=,

故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-y²=1.

類比橢圓討論雙曲線的幾何性質(zhì)。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng)。

通過(guò)典例解析，已知雙曲線的幾何條件求解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的基本解題思路，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.雙曲線mx²+y²=1的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍,則m的值為( )

A.4 B.-4 C.- D.

解析:由雙曲線方程mx²+y²=1,知m<0,則雙曲線方程可化為y²-=1,

則a²=1,a=1,又虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍,∴b=2,∴-=b²=4,∴m=-,故選C.

答案:C

2.(多選)若雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)F(5,0),P是雙曲線上一點(diǎn),且漸近線方程為y=x,則下列結(jié)論正確的是 ( )

A.C的方程為=1 B.C的離心率為

C.焦點(diǎn)到漸近線的距離為3 D.|PF|的最小值為2

解析:雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)F(5,0),且漸近線方程為y=x,可得c=5,焦點(diǎn)坐標(biāo)在x軸上,所以,因?yàn)?/span>c=5,所以b=4,a=3,

所以C的方程為=1,A正確;離心率為e=,B不正確;

焦點(diǎn)到漸近線的距離為d==4,C不正確;

|PF|的最小值為c-a=2,D正確.

答案:AD

3.中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,且一個(gè)焦點(diǎn)在直線3x-4y+12=0上的等軸雙曲線的方程是 .

解析:令y=0,得x=-4,∴等軸雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為(-4,0),

∴c=4,a²=b²=c²=16=8,故等軸雙曲線的方程為x²-y²=8.

答案:x²-y²=8

4.關(guān)于雙曲線=-1,有以下說(shuō)法:

①實(shí)軸長(zhǎng)為6;②雙曲線的離心率是;③焦點(diǎn)坐標(biāo)為(5,0);④漸近線方程是y=x;⑤焦點(diǎn)到漸近線的距離等于3.

正確的說(shuō)法是 .(把所有正確說(shuō)法的序號(hào)都填上)

解析:∵雙曲線=-1,

即=1,∴a=4,b=3,c==5,

∴①實(shí)軸長(zhǎng)為2a=8,故①錯(cuò)誤;

②雙曲線的離心率是e=,故②正確;

③焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(0,5),故③錯(cuò)誤;

④漸近線方程是y=x,故④正確;

⑤焦點(diǎn)到漸近線的距離為d==3,故⑤正確.

答案:②④⑤

5.已知F為雙曲線C:=1的左焦點(diǎn),P,Q為雙曲線C同一支上的兩點(diǎn).若PQ的長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的2倍,點(diǎn)A(,0)在線段PQ上,則△PQF的周長(zhǎng)為 .

解析:根據(jù)題意,雙曲線C:=1的左焦點(diǎn)F(-,0),所以點(diǎn)A(,0)是雙曲線的右焦點(diǎn),P,Q為雙曲線C右支上的兩點(diǎn).虛軸長(zhǎng)為6,所以|PQ|=12. 雙曲線圖像如圖.

|PF|-|AP|=2a=4,①

|QF|-|QA|=2a=4,②

①+②得|PF|+|QF|-|PQ|=8,

∴周長(zhǎng)為|PF|+|QF|+|PQ|=8+2|PQ|=32.

答案:32

通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。