1、方程的定義1)像這種用等號“=”來表示相等關(guān)系的式子,叫等式。(老師給出定義。)2)請大家觀察左邊的這些式子,看看它們有什么共同的特征?(老師提出問題。)3)列方程時,要先設(shè)字母表示未知數(shù),然后根據(jù)問題中的相等關(guān)系,寫出含有未知數(shù)的等式叫做方程。(學(xué)生思考后,老師給出新學(xué)內(nèi)容方程的定義。)4)判斷方程的兩個關(guān)鍵要素: ①有未知數(shù) ②是等式(老師提問,并給出。)
方法總結(jié):(1)利用列表法估算一元二次方程根的取值范圍的步驟是:首先列表,利用未知數(shù)的取值,根據(jù)一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù),a≠0)分別計算ax2+bx+c的值,在表中找到使ax2+bx+c可能等于0的未知數(shù)的大致取值范圍,然后再進(jìn)一步在這個范圍內(nèi)取值,逐步縮小范圍,直到所要求的精確度為止.(2)在估計一元二次方程根的取值范圍時,當(dāng)ax2+bx+c(a≠0)的值由正變負(fù)或由負(fù)變正時,x的取值范圍很重要,因為只有在這個范圍內(nèi),才能存在使ax2+bx+c=0成立的x的值,即方程的根.三、板書設(shè)計一元二次方程的解的估算,采用“夾逼法”:(1)先根據(jù)實際問題確定其解的大致范圍;(2)再通過列表,具體計算,進(jìn)行兩邊“夾逼”,逐步獲得其近似解.“估算”在求解實際生活中一些較為復(fù)雜的方程時應(yīng)用廣泛.在本節(jié)課中讓學(xué)生體會用“夾逼”的思想解決一元二次方程的解或近似解的方法.教學(xué)設(shè)計上,強(qiáng)調(diào)自主學(xué)習(xí),注重合作交流,在探究過程中獲得數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗,提高探究、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新的能力.
(1)x可能小于0嗎?說說你的理由;_____________________________.(2)x可能大于4嗎?可能大于2.5嗎?為什么?(3)完成下表x 0 0.5 1 1.5 2 2.52x2-13x+11 (4)你知道地毯花邊的寬x(m)是多少嗎?還有其他求解方法嗎?與同伴交流。探索2:梯子底端滑動的距離x(m)滿足方程(x+6)2+72=102,也就是x2+12x―15=0(1)你能猜出滑動距離x(m)的大致范圍嗎?(2)x的整數(shù)部分是_____?十分位是_______?x 0 x2+12x-15 所以 ___<x<___進(jìn)一步計算x x2+12x-15 所以 ___<x<___因此x 的整數(shù)部分是___,十分位是___.三、當(dāng)堂訓(xùn)練:完成課本34頁隨堂練習(xí)四、學(xué)習(xí)體會:五、課后作業(yè)
探索1:上節(jié)我們列出了與地毯的花邊寬度有關(guān)的方程。地毯花邊的寬x(m),滿足方程 (8―2x)(5―2x)=18也就是:2x2―13x+11=0你能估算出地毯花邊的寬度x嗎?(1)x可能小于0嗎?說說你的理由;_____________________________.(2)x可能大于4嗎?可能大于2.5嗎?為什么?(3)完成下表x 0 0.5 1 1.5 2 2.52x2-13x+11 (4)你知道地毯花邊的寬x(m)是多少嗎?還有其他求解方法嗎?與同伴交流。探索2:梯子底端滑動的距離x(m)滿足方程(x+6)2+72=102,也就是x2+12x―15=0(1)你能猜出滑動距離x(m)的大致范圍嗎?(2)x的整數(shù)部分是_____?十分位是_______?x 0 x2+12x-15 所以 ___<x<___進(jìn)一步計算x x2+12x-15 所以 ___<x<___因此x 的整數(shù)部分是___,十分位是___.三、當(dāng)堂訓(xùn)練:完成課本34頁隨堂練習(xí)四、學(xué)習(xí)體會:五、課后作業(yè)
首先列表,利用未知數(shù)的取值,根據(jù)一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù),a≠0)分別計算ax2+bx+c的值,在表中找到使ax2+bx+c可能等于0的未知數(shù)的大致取值范圍,然后再進(jìn)一步在這個范圍內(nèi)取值,逐步縮小范圍,直到所要求的精確度為止.(2)在估計一元二次方程根的取值范圍時,當(dāng)ax2+bx+c(a≠0)的值由正變負(fù)或由負(fù)變正時,x的取值范圍很重要,因為只有在這個范圍內(nèi),才能存在使ax2+bx+c=0成立的x的值,即方程的根.三、板書設(shè)計一元二次方程的解的估算,采用“夾逼法”:(1)先根據(jù)實際問題確定其解的大致范圍;(2)再通過列表,具體計算,進(jìn)行兩邊“夾逼”,逐步獲得其近似解.“估算”在求解實際生活中一些較為復(fù)雜的方程時應(yīng)用廣泛.在本節(jié)課中讓學(xué)生體會用“夾逼”的思想解決一元二次方程的解或近似解的方法.教學(xué)設(shè)計上,強(qiáng)調(diào)自主學(xué)習(xí),注重合作交流,在探究過程中獲得數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗,提高探究、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新的能力.
方法總結(jié):(1)若被開方數(shù)中含有負(fù)因數(shù),則應(yīng)先化成正因數(shù),如(3)題.(2)將二次根式盡量化簡,使被開方數(shù)(式)中不含能開得盡方的因數(shù)(因式),即化為最簡二次根式(后面學(xué)到).探究點三:最簡二次根式在二次根式8a,c9,a2+b2,a2中,最簡二次根式共有()A.1個 B.2個C.3個 D.4個解析:8a中有因數(shù)4;c9中有分母9;a3中有因式a2.故最簡二次根式只有a2+b2.故選A.方法總結(jié):只需檢驗被開方數(shù)是否還有分母,是否還有能開得盡方的因數(shù)或因式.三、板書設(shè)計二次根式定義形如a(a≥0)的式子有意義的條件:a≥0性質(zhì):(a)2=a(a≥0),a2=a(a≥0)最簡二次根式本節(jié)經(jīng)歷從具體實例到一般規(guī)律的探究過程,運用類比的方法,得出實數(shù)運算律和運算法則,使學(xué)生清楚新舊知識的區(qū)別和聯(lián)系,加深學(xué)生對運算法則的理解,能否根據(jù)問題的特點,選擇合理、簡便的算法,能否確認(rèn)結(jié)果的合理性等等.
屬于此類問題一般有以下三種情況①具體數(shù)字,此時化簡的條件已暗中給定,②恒為非負(fù)值或根據(jù)題中的隱含條件,如(1)小題。③給出明確的條件,如(2)小題。第二類,需討論后再化簡。當(dāng)題目中給定的條件不能判定絕對值符號內(nèi)代數(shù)式值的符號時,則需討論后化簡,如(4)小題。例3.已知a+b=-6,ab=5,求 的值。解:∵ab=5>0,∴a,b同號,又∵a+b=-6<0,∴a<0,b<0∴ .說明:此題中的隱含條件a<0,b<0不能忽視。否則會出現(xiàn)錯誤。例4.化簡: 解:原式=|x-6|-|1+2x|+|x+5|令x-6=0,得x=6,令1+2x=0,得 ,令x+5=0,得x=-5.這樣x=6, ,x=-5,把數(shù)軸分成四段(四個區(qū)間)在這五段里分別討論如下:當(dāng)x≥6時,原式=(x-6)-(1+2x)+(x+5)=-2.當(dāng) 時,原式=-(x-6)-(1+2x)+(x+5)=-2x+10.當(dāng) 時,原式=-(x-6)-[-(1+2x)]+(x+5)=2x+12.當(dāng)x<-5時,原式=-(x-6)+(1+2x)-(x+5)=2.說明:利用公式 ,如果絕對值符號里面的代數(shù)式的值的符號無法決定,則需要討論。方法是:令每一個絕對值內(nèi)的代數(shù)式為零,求出對應(yīng)的“零點”,再用這些“零點”把數(shù)軸分成若干個區(qū)間,再在每個區(qū)間內(nèi)進(jìn)行化簡。
五、課堂設(shè)計理念本節(jié)課著力體現(xiàn)以下幾個方面:1、突出問題的應(yīng)用意識。在各個環(huán)節(jié)的安排上都設(shè)計成一個個問題,使學(xué)生能圍繞問題展開討思考、討論,進(jìn)行學(xué)習(xí)。2、體現(xiàn)學(xué)生的主體意識。讓學(xué)生通過列算式與列方程的比較,分別歸納出它們的特點,從而感受到從算術(shù)方法到代數(shù)方法是數(shù)學(xué)的進(jìn)步;讓學(xué)生通過合作交流,得出問題的不同解法;讓學(xué)生對一節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容、方法、注意點等進(jìn)行歸納。3、體現(xiàn)學(xué)生思維的層次性。教師首先引導(dǎo)學(xué)生嘗試用算術(shù)方法解決問題,然后再引導(dǎo)學(xué)生列出含未知數(shù)的式了,尋找相等關(guān)系列出方程,在尋找相等關(guān)系、設(shè)未知數(shù)及作業(yè)的布置等環(huán)節(jié)中都注意了學(xué)生思維的層次性。4、滲透建模思想。把實際問題中的數(shù)量關(guān)系用方程形式表示出來,就是建立一種數(shù)學(xué)模型,教師有意識地按設(shè)未知數(shù)、列方程等步驟組織學(xué)生學(xué)習(xí),就是培養(yǎng)學(xué)生由實際問題抽象出方程模型的能力。
安裝及運輸費用為600x+800(12-x),根據(jù)題意得4000x+3000(12-x)≤40000,600x+800(12-x)≤9200.解得2≤x≤4,由于x取整數(shù),所以x=2,3,4.答:有三種方案:①購買甲種設(shè)備2臺,乙種設(shè)備10臺;②購買甲種設(shè)備3臺,乙種設(shè)備9臺;③購買甲種設(shè)備4臺,乙種設(shè)備8臺.方法總結(jié):列不等式組解應(yīng)用題時,一般只設(shè)一個未知數(shù),找出兩個或兩個以上的不等關(guān)系,相應(yīng)地列出兩個或兩個以上的不等式組成不等式組求解.在實際問題中,大部分情況下應(yīng)求整數(shù)解.三、板書設(shè)計1.一元一次不等式組的解法2.一元一次不等式組的實際應(yīng)用利用一元一次不等式組解應(yīng)用題關(guān)鍵是找出所有可能表達(dá)題意的不等關(guān)系,再根據(jù)各個不等關(guān)系列成相應(yīng)的不等式,組成不等式組.在教學(xué)時要讓學(xué)生養(yǎng)成檢驗的習(xí)慣,感受運用數(shù)學(xué)知識解決問題的過程,提高實際操作能力.
把解集在數(shù)軸上表示出來,并將解集中的整數(shù)解寫出來.解析:分別計算出兩個不等式的解集,再根據(jù)大小小大中間找確定不等式組的解集,再找出解集范圍內(nèi)的整數(shù)即可.解:x+23<1?、伲?(1-x)≤5?、?,由①得x<1,由②得x≥-32,∴不等式組的解集為-32≤x<1.則不等式組的整數(shù)解為-1,0.方法總結(jié):此題主要考查了一元一次不等式組的解法,解決此類問題的關(guān)鍵在于正確解得不等式組或不等式的解集,然后再根據(jù)題目中對于解集的限制得到下一步所需要的條件,再根據(jù)得到的條件進(jìn)而求得不等式組的整數(shù)解.三、板書設(shè)計一元一次不等式組概念解法不等式組的解集利用數(shù)軸確定解集利用口訣確定解集解一元一次不等式組是建立在解一元一次不等式的基礎(chǔ)之上.解不等式組時,先解每一個不等式,再確定各個不等式組的解集的公共部分.
方法總結(jié):已知解集求字母系數(shù)的值,通常是先解含有字母的不等式,再利用解集唯一性列方程求字母的值.解題過程體現(xiàn)了方程思想.三、板書設(shè)計1.一元一次不等式的概念2.解一元一次不等式的基本步驟:(1)去分母;(2)去括號;(3)移項;(4)合并同類項;(5)兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù).本節(jié)課通過類比一元一次方程的解法得到一元一次不等式的解法,讓學(xué)生感受到解一元一次不等式與解一元一次方程只是在兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)這一步時有所不同.如果這個系數(shù)是正數(shù),不等號的方向不變;如果這個系數(shù)是負(fù)數(shù),不等號的方向改變.這也是這節(jié)課學(xué)生容易出錯的地方.教學(xué)時要大膽放手,不要怕學(xué)生出錯,通過學(xué)生犯的錯誤引起學(xué)生注意,理解產(chǎn)生錯誤的原因,以便在以后的學(xué)習(xí)中避免出錯.
知識與技能目標(biāo):1. 能正確說出三元一次方程(組)及其解的概念,能正確判別一組數(shù)是否是三元一次方程(組)的解;2. 會根據(jù)實際問題列出簡單的三元一次方程或三元一次方程組。過程與方法目標(biāo):1. 通過加深對概念的理解,提高對“元”和“次”的認(rèn)識。2. 能夠逐步培養(yǎng)類比分析和歸納概括的能力,了解辯證統(tǒng)一的思想。情感態(tài)度與價值觀目標(biāo):通過對實際問題的分析,使學(xué)生進(jìn)一步體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學(xué)模型,培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 、學(xué)習(xí)過程與方法:因式分解法是把一個一元二次方程化為兩個一元一次方程來解,體現(xiàn)了一種“降次”思想、“轉(zhuǎn)化”思想,并了解這種轉(zhuǎn)化思想在解方程中的應(yīng)用。2、學(xué)習(xí)重點 :用因式分解法解某些方程。 【溫故】1、(1)將一個多項式(特別是二次三項式)因式分解,有哪幾種分解方法?(2)將下列多項式因式分解① 3x2-4x ② 4x2-9y2 ③x2- 6xy+9y2④ (2x+1)2+4(2x+1)+4 【知新】1.自學(xué)課本 P46----P48[討論]以上解方程的方法是如何使二次方程降為一次的?2、用分解因式法 解方程例1、解下 列方程(1)3 x2-5x=0 (2)x(x-2) +x-2=0例2、用因式分解法解下列方程 (1)5x2-2x-1/4=x2-2x+3/4 (2)x(x-3)-4( 3-x)=0 (3)(5-x)2-16=0 (4)16(2x-1)2=25(x-2)2
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 、學(xué)習(xí)過程與方法:因式分解法是把一個一元二次方程化為兩個一元一次方程來解,體現(xiàn)了一種“降次”思想、“轉(zhuǎn)化”思想,并了解這種轉(zhuǎn)化思想在解方程中的應(yīng)用。2、學(xué)習(xí)重點 :用因式分解法解某些方程。 【溫故】1、(1)將一個多項式(特別是二次三項式)因式分解,有哪幾種分解方法?(2)將下列多項式因式分解① 3x2-4x ② 4x2-9y2 ③x2- 6xy+9y2④ (2x+1)2+4(2x+1)+4 【知新】1.自學(xué)課本 P46----P48[討論]以上解方程的方法是如何使二次方程降為一次的?2、用分解因式法 解方程例1、解下 列方程(1)3 x2-5x=0 (2)x(x-2) +x-2=0例2、用因式分解法解下列方程 (1)5x2-2x-1/4=x2-2x+3/4 (2)x(x-3)-4( 3-x)=0 (3)(5-x)2-16=0 (4)16(2x-1)2=25(x-2)2
探究點二:選用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠逃眠m當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?1)3x(x+5)=5(x+5);(2)3x2=4x+1;(3)5x2=4x-1.解:(1)原方程可變形為3x(x+5)-5(x+5)=0,即(x+5)(3x-5)=0,∴x+5=0或3x-5=0,∴x1=-5,x2=53;(2)將方程化為一般形式,得3x2-4x-1=0.這里a=3,b=-4,c=-1,∴b2-4ac=(-4)2-4×3×(-1)=28>0,∴x=4±282×3=4±276=2±73,∴x1=2+73,x2=2-73;(3)將方程化為一般形式,得5x2-4x+1=0.這里a=5,b=-4,c=1,∴b2-4ac=(-4)2-4×5×1=-4<0,∴原方程沒有實數(shù)根.方法總結(jié):解一元二次方程時,若沒有具體的要求,應(yīng)盡量選擇最簡便的方法去解,能用因式分解法或直接開平方法的選用因式分解法或直接開平方法;若不能用上述方法,可用公式法求解.在用公式法時,要先計算b2-4ac的值,若b2-4ac<0,則判斷原方程沒有實數(shù)根.沒有特殊要求時,一般不用配方法.
[設(shè)計說明]:只給出情景故事,感知了一個大數(shù),這樣還不能引起學(xué)生對大數(shù)的深刻認(rèn)識,所以再給出宇宙星空中的這些大數(shù),讓學(xué)生讀讀、看看這些數(shù),引起學(xué)生強(qiáng)烈的認(rèn)知上的沖突,形成一種心理上的想讀、想寫的求知欲望。(二)、引出問題、探索新知在上面的例子中,我們遇到了幾個很大的數(shù),看起來、讀起來、寫起來都不方便,有沒有簡單的表示法呢?分以下步驟完成。1、回憶100 ,1000,10000,能寫成10( )2、300=3×100=3×10( )3000=3×1000=3×10()30000=3×10000=3×10()3、再由學(xué)生完成上面4個例子中的數(shù)的表示。(學(xué)生對160 000 000 000這個數(shù)可能表示為、16×1010,教師要利用學(xué)生這種錯誤,強(qiáng)調(diào)a的范圍)4、教師給出科學(xué)記數(shù)法表示:a×10( )(1≤a<10)。[設(shè)計說明]:通過層層遞進(jìn)的探究設(shè)計,啟發(fā)學(xué)生成功地發(fā)現(xiàn)“科學(xué)記數(shù)法”的表示方法,同時又通過學(xué)生示錯,讓學(xué)生記住a的范圍,體現(xiàn)了以學(xué)生為主的探究式教學(xué)。
【類型三】 分式方程無解,求字母的值若關(guān)于x的分式方程2x-2+mxx2-4=3x+2無解,求m的值.解析:先把分式方程化為整式方程,再分兩種情況討論求解:一元一次方程無解與分式方程有增根.解:方程兩邊都乘以(x+2)(x-2),得2(x+2)+mx=3(x-2),即(m-1)x=-10.①當(dāng)m-1=0時,此方程無解,此時m=1;②方程有增根,則x=2或x=-2,當(dāng)x=2時,代入(m-1)x=-10得(m-1)×2=-10,m=-4;當(dāng)x=-2時,代入(m-1)x=-10得(m-1)×(-2)=-10,解得m=6,∴m的值是1,-4或6.方法總結(jié):分式方程無解與分式方程有增根所表達(dá)的意義是不一樣的.分式方程有增根僅僅針對使最簡公分母為0的數(shù),分式方程無解不但包括使最簡公分母為0的數(shù),而且還包括分式方程化為整式方程后,使整式方程無解的數(shù).三、板書設(shè)計1.分式方程的解法方程兩邊同乘以最簡公分母,化為整式方程求解,再檢驗.2.分式方程的增根(1)解分式方程為什么會產(chǎn)生增根;(2)分式方程檢驗的方法.
1、 教材的地位和作用本課教材所處位置,是小學(xué)所學(xué)算術(shù)數(shù)之后數(shù)的范圍的第一次擴(kuò)充,是算術(shù)數(shù)到有理數(shù)的銜接與過渡,并且是以后學(xué)習(xí)數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值以及有理數(shù)運算的基礎(chǔ).2、 教學(xué)目標(biāo)①理解有理數(shù)產(chǎn)生的必然性、合理性及有理數(shù)的分類;②能辨別正、負(fù)數(shù),感受規(guī)定正、負(fù)的相對性;③體驗中國古代在數(shù)的發(fā)展方面的貢獻(xiàn).3、 教學(xué)重點和難點教學(xué)重點:理解正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念和有理數(shù)概念.教學(xué)難點:對負(fù)數(shù)概念的理解和有理數(shù)的分類.二、 教學(xué)分析鑒于初一年級學(xué)生的年齡特點,他們對概念的理解能力不強(qiáng),精神不能長時間集中,但思維比較活躍。我決定采取啟發(fā)式教學(xué)法及情感教學(xué),創(chuàng)設(shè)問題情境,引導(dǎo)學(xué)生主動思考,用大量的實例和生動的語言激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,調(diào)節(jié)學(xué)習(xí)情緒。
一、教材分析(一)、內(nèi)容、地位和作用這節(jié)課是義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書北師大版七年級第6章《數(shù)據(jù)的收集與表示》第一節(jié)《數(shù)據(jù)的收集》的第一課時。在此之前,學(xué)生在已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些初步的數(shù)據(jù)的處理問題,對運用數(shù)據(jù)去解決日常生活中的實際問題已有所了解,知道了運用數(shù)據(jù)的價值。本節(jié)課是在此基礎(chǔ)上對數(shù)據(jù)的收集又有了更進(jìn)一步的學(xué)習(xí)與挖掘。為后面運用數(shù)據(jù)的知識去分析一些現(xiàn)象打下基礎(chǔ)。新的義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)與我國以往的數(shù)學(xué)課程相比,在教學(xué)內(nèi)容上大大加強(qiáng)了統(tǒng)計和概率,在教學(xué)方法上積極倡導(dǎo)自主探索和合作學(xué)習(xí),幫助學(xué)生通過反復(fù)觀察,了解不確定的現(xiàn)象也能夠表現(xiàn)出規(guī)律,整個內(nèi)容圍繞真實的數(shù)據(jù)展開教學(xué)。依據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn),在教學(xué)中,應(yīng)注重所學(xué)內(nèi)容與日常生活、自然、社會和科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域的聯(lián)系,使學(xué)生體會統(tǒng)計與概率對制定決策的重要作用。
(1) 這28天中屬于“重度染污”、“中度污染”、“輕度污染”、“良”和“優(yōu)”的天數(shù)各有幾天?出現(xiàn)的頻率各是多少?請用一張統(tǒng)計表來表示;(3) 從你作的統(tǒng)計圖表中,你得到哪些結(jié)論?說說你的理由.(三)課堂小結(jié):本節(jié)課學(xué)習(xí)了用統(tǒng)計來直觀來表示數(shù)據(jù),并從統(tǒng)計圖中發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)間的聯(lián)系。整理數(shù)據(jù)——制統(tǒng)計表1、從資料給出的許多數(shù)據(jù)中選取相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理;2、標(biāo)目分成橫、縱兩種(允許不同分法);3、把數(shù)據(jù)放入相應(yīng)位置。為了更清晰地用統(tǒng)計表展示與描繪數(shù)據(jù),統(tǒng)計表必須有規(guī)范的結(jié)構(gòu):標(biāo)題(統(tǒng)計表的名稱)標(biāo)目(如“國家”、“屆數(shù)”…)數(shù)據(jù)、必要的說明(數(shù)據(jù)的單位、制表日期等)折線統(tǒng)計圖的步驟:(1)寫出統(tǒng)計圖名稱;(2)畫出橫、縱兩條互相垂直的數(shù)軸(有時不畫箭頭),分別表示兩個標(biāo)目的數(shù)據(jù);(3)根據(jù)橫、縱各個方向上的各對對應(yīng)的標(biāo)目數(shù)據(jù)畫點;(4)用線段把每相鄰兩點連接起來。
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