認識勾股定理教案

1．探索勾股定理，進一步發(fā)展學生的推理能力；

2．理解并掌握直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系．(重點、難點)

一、情境導入

如圖所示的圖形像一棵枝葉茂盛、姿態(tài)優(yōu)美的樹，這就是著名的畢達哥拉斯樹，它由若干個圖形組成，而每個圖形的基本元素是三個正方形和一個直角三角形．各組圖形大小不一，但形狀一致，結(jié)構(gòu)奇巧．你能說說其中的奧秘嗎？

二、合作探究

探究點一：勾股定理的初步認識

【類型一】直接利用勾股定理求長度

如圖，已知在△ABC中，∠ACB＝90，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于點D，求CD的長．

解析：先運用勾股定理求出AC的長，再根據(jù)S△ABC＝ABCD＝ACBC，求出CD的長．

解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90，AB＝5cm，BC＝3cm，∴由勾股定理得AC2＝AB2－BC2＝52－32＝42，∴AC＝4cm.又∵S△ABC＝ABCD＝ACBC，∴CD＝＝＝(cm)，故CD的長是cm.

方法總結(jié)：由直角三角形的面積求法可知直角三角形兩直角邊的積等于斜邊與斜邊上高的積，這個規(guī)律也稱“弦高公式”，它常與勾股定理聯(lián)合使用．

【類型二】勾股定理與其他幾何知識的綜合運用

如圖，已知AD是△ABC的中線．求證：AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2)．

解析：結(jié)論中涉及線段的平方，因此可以考慮作AE⊥BC于點E，在△ABC中構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理進行證明．

證明：如圖，過點A作AE⊥BC于點E.在Rt△ACE、Rt△ABE和Rt△ADE中，AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋CE2，AE2＝AD2－ED2，∴AB2＋AC2＝(AE2＋BE2)＋(AE2＋CE2)＝2(AD2－ED2)＋(DB－DE)2＋(DC＋DE)2＝2AD2－2ED2＋DB2－2DBDE＋DE2＋DC2＋2DCDE＋DE2＝2AD2＋DB2＋DC2＋2DE(DC－DB)．又∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，∴AB2＋AC2＝2AD2＋2DC2＝2(AD2＋CD2)．

方法總結(jié)：構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理把需要證明的線段聯(lián)系起來．一般地，涉及線段之間的平方關(guān)系問題時，通常沿著這個思路去分析問題．

【類型三】分類討論思想在勾股定理中的應用

在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD為BC邊上的高，且AD＝12，求△ABC的周長．

解析：應考慮高AD在△ABC內(nèi)和△ABC外的兩種情形．

解：當高AD在△ABC內(nèi)部時，如圖①.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16；在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC的周長為25＋20＋15＝60.

當高AD在△ABC外部時，如圖②.同理可得BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周長為7＋20＋15＝42.綜上所述，△ABC的周長為42或60.

方法總結(jié)：題中未給出圖形，作高構(gòu)造直角三角形時，易漏掉鈍角三角形的情況．如在本例題中，易只考慮高AD在△ABC內(nèi)的情形，忽視高AD在△ABC外的情形．

探究點二：利用勾股定理求面積

如圖，以Rt△ABC的三邊長為斜邊分別向外作等腰直角三角形．若斜邊AB＝3，則圖中△ABE的面積為________，陰影部分的面積為________．

解析：因為AE＝BE，所以S△ABE＝AEBE＝AE2.又因為AE2＋BE2＝AB2，所以2AE2＝AB2，所以S△ABE＝AB2＝32＝；同理可得S△AHC＋

S△BCF＝AC2＋BC2.又因為AC2＋BC2＝AB2，所以陰影部分的面積為AB2＋AB2＝AB2＝32＝.故填、.