勾股定理的應(yīng)用教案

第一環(huán)節(jié)：情境引入

內(nèi)容：

情景1：多媒體展示：

提出問題：從二教樓到綜合樓怎樣走最近？

情景2：

如圖：在一個(gè)圓柱石凳上，若小明在吃東西時(shí)留下了一點(diǎn)食物在B處，恰好一只在A處的螞蟻捕捉到這一信息，于是它想從A處爬向B處，你們想一想，螞蟻怎么走最近？

意圖：

通過情景1復(fù)習(xí)公理：兩點(diǎn)之間線段最短；情景２的創(chuàng)設(shè)引入新課，激發(fā)學(xué)生探究熱情．

效果：

從學(xué)生熟悉的生活場景引入，提出問題，學(xué)生探究熱情高漲，為下一環(huán)節(jié)奠定了良好基礎(chǔ)．

第二環(huán)節(jié)：合作探究

內(nèi)容：

學(xué)生分為４人活動(dòng)小組，合作探究螞蟻爬行的最短路線，充分討論后，匯總各小組的方案，在全班范圍內(nèi)討論每種方案的路線計(jì)算方法，通過具體計(jì)算，總結(jié)出最短路線．讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)：沿圓柱體母線剪開后展開得到矩形，研究“螞蟻怎么走最近”就是研究兩點(diǎn)連線最短問題，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)利用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的方法．

意圖：

通過學(xué)生的合作探究，找到解決“螞蟻怎么走最近”的方法，將曲面最短距離問題轉(zhuǎn)化為平面最短距離問題并利用勾股定理求解．在活動(dòng)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)建摸，培養(yǎng)學(xué)生與人合作交流的能力，增強(qiáng)學(xué)生探究能力，操作能力，分析能力，發(fā)展空間觀念．

效果：

學(xué)生匯總了四種方案：

學(xué)生很容易算出：情形（1）中A→B的路線長為：，

情形（2）中A→B的路線長為：

所以情形（1）的路線比情形（2）要短．

學(xué)生在情形（3）和（4）的比較中出現(xiàn)困難，但還是有學(xué)生提出用剪刀沿母線AA’剪開圓柱得到矩形，情形（3）A→B是折線，而情形（4）是線段，故根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可判斷（4）較短，最后通過計(jì)算比較（1）和（4）即可．

如圖：

（1）中A→B的路線長為：．

（2）中A→B的路線長為：>AB．

（3）中A→B的路線長為：AO+OB>AB．

（4）中A→B的路線長為：AB．

得出結(jié)論：利用展開圖中兩點(diǎn)之間，線段最短解決問題．在這個(gè)環(huán)節(jié)中，可讓學(xué)生沿母線剪開圓柱體，具體觀察．接下來后提問：怎樣計(jì)算AB？

在Rt△AA′B中，利用勾股定理可得，若已知圓柱體高為12cm，底面半徑為3cm，π取3，則．

注意事項(xiàng)：本環(huán)節(jié)的探究把圓柱側(cè)面尋最短路徑拓展到了圓柱表面，目的僅僅是讓學(xué)生感知最短路徑的不同存在可能．但這一拓展使學(xué)生無法去論證最短路徑究竟是哪條．因此教學(xué)時(shí)因該在學(xué)生在圓柱表面感知后，把探究集中到對(duì)圓柱側(cè)面最短路徑的探究上．

方法提煉：解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際問題建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，解決這一類幾何型問題的具體步驟大致可以歸納如下：

1．審題——分析實(shí)際問題；

2．建?！⑾鄳?yīng)的數(shù)學(xué)模型；

3．求解——運(yùn)用勾股定理計(jì)算；

4．檢驗(yàn)——是否符合實(shí)際問題的真實(shí)性．

第三環(huán)節(jié)：做一做

內(nèi)容：

李叔叔想要檢測(cè)雕塑底座正面的AD邊和BC邊是否分別垂直于底邊AB，但他隨身只帶了卷尺，

（1）你能替他想辦法完成任務(wù)嗎？

（2）李叔叔量得AD長是30厘米，AB長是40厘米，BD長是50厘米，AD邊垂直于AB邊嗎？為什么？

（3）小明隨身只有一個(gè)長度為20厘米的刻度尺，他能有辦法檢驗(yàn)AD邊是否垂直于AB邊嗎？BC邊與AB邊呢？

解答：（2）

∴AD和AB垂直．

意圖：

運(yùn)用勾股定理逆定理來解決實(shí)際問題，讓學(xué)生學(xué)會(huì)分析問題，利用允許的工具靈活處理問題．

效果：

先鼓勵(lì)學(xué)生自己尋找辦法，再讓學(xué)生說明李叔叔的辦法的合理性．當(dāng)刻度尺較短時(shí)，學(xué)生可能會(huì)在上面解決問題的基礎(chǔ)上，想出多種辦法，如利用分段相加的方法量出AB，AD和BD的長度，或在AB，AD邊上各量一段較小長度，再去量以它們?yōu)檫叺娜切蔚牡谌叄瑥亩玫浇Y(jié)論．

第四環(huán)節(jié)：小試牛刀

內(nèi)容：

1．甲、乙兩位探險(xiǎn)者到沙漠進(jìn)行探險(xiǎn)，某日早晨8：00甲先出發(fā)，他以6 km/h的速度向正東行走，1時(shí)后乙出發(fā)，他以5 km/h的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙兩人相距多遠(yuǎn)？

解答：如圖:已知A是甲、乙的出發(fā)點(diǎn)，10:00甲到達(dá)B點(diǎn)，乙到達(dá)C點(diǎn)．則:

AB=26=12（km）

AC=15=5（km）

在Rt△ABC中:

∴BC=13（km）．

即甲乙兩人相距13 km．

2．如圖，臺(tái)階A處的螞蟻要爬到B處搬運(yùn)食物，它怎么走最近？并求出最近距離．

解答：.

3．有一個(gè)高為1.5 m，半徑是1m的圓柱形油桶，在靠近邊的地方有一小孔，從孔中插入一鐵棒，已知鐵棒在油桶外的部分為0.5 m，問這根鐵棒有多長？

解答：設(shè)伸入油桶中的長度為x m．

則最長時(shí):

∴最長是2.5+0.5=3（m）．

最短時(shí): ．

∴最短是1.5+0.5=2（m）．

答:這根鐵棒的長應(yīng)在2～3m之間．

意圖：

對(duì)本節(jié)知識(shí)進(jìn)行鞏固練習(xí)，訓(xùn)練學(xué)生根據(jù)實(shí)際情形畫出示意圖并計(jì)算．

效果：

學(xué)生能獨(dú)立地畫出示意圖，將現(xiàn)實(shí)情形轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并求解．

第五環(huán)節(jié)：舉一反三

內(nèi)容：

1．如圖，在棱長為10 cm的正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A處有一只螞蟻，現(xiàn)要向頂點(diǎn)B處爬行，已知螞蟻爬行的速度是1 cm/s，且速度保持不變，問螞蟻能否在20 s內(nèi)從A爬到B？

解：如圖，在Rt△ABC中:

∵500＞202 .

∴不能在20s內(nèi)從A爬到B.

2．在我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問題，這個(gè)問題的意思是：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長為10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面，請(qǐng)問這個(gè)水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各是多少？

解答：設(shè)水池的水深A(yù)C為x尺，則這根蘆葦長為

AD=AB=（x+1）尺，

在直角三角形ABC中，BC=5尺.

由勾股定理得:BC2+AC2=AB2.

即 52+x2=（x+1）2.

25+x2= x2+2x+1.

2x=24.

∴ x=12，x+1=13．

答：水池的水深12尺，這根蘆葦長13尺．

意圖：

第1題旨在對(duì)“螞蟻怎樣走最近”進(jìn)行拓展，從圓柱側(cè)面到棱柱側(cè)面，都是將空間問題平面化；第2題，學(xué)生可以進(jìn)一步了解勾股定理的悠久歷史和廣泛應(yīng)用，了解我國古代人民的聰明才智；運(yùn)用方程的思想并利用勾股定理建立方程．

效果：

學(xué)生能畫出棱柱的側(cè)面展開圖，確定出AB位置，并正確計(jì)算．如有可能，還可把正方體換成長方體進(jìn)行討論．

學(xué)生能畫出示意圖，找等量關(guān)系，設(shè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)建立方程．

注意事項(xiàng)：對(duì)于普通班級(jí)而言，學(xué)生完成“小試牛刀”，已經(jīng)基本完成課堂教學(xué)任務(wù)．因此本環(huán)節(jié)可以作為教學(xué)中的一個(gè)備選環(huán)節(jié)，共老師們根據(jù)學(xué)生狀況選用．

第六環(huán)節(jié)：交流小結(jié)

內(nèi)容：

師生相互交流總結(jié)：

1．解決實(shí)際問題的方法是建立數(shù)學(xué)模型求解．

2．在尋求最短路徑時(shí)，往往把空間問題平面化，利用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問題．

意圖：

鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)談自己的收獲和感想，體會(huì)到勾股定理及其逆定理的廣泛應(yīng)用及它們的悠久歷史．

效果：

學(xué)生暢所欲言自己的切身感受與實(shí)際收獲，總結(jié)出在尋求曲面最短路徑時(shí)，往往考慮其展開圖，利用兩點(diǎn)之間，線段最短進(jìn)行求解．并贊嘆我國古代數(shù)學(xué)的成就．

第七環(huán)節(jié)：布置作業(yè)

1．課本習(xí)題1．4第1，2，3題．

2．如圖是學(xué)校的旗桿，旗桿上的繩子垂到了地面，并多出了一段，現(xiàn)在老師想知道旗桿的高度，你能幫老師想個(gè)辦法嗎?請(qǐng)你與同伴交流設(shè)計(jì)方案?

注意事項(xiàng)：作業(yè)2作為學(xué)有余力的學(xué)生的思考題．

教學(xué)設(shè)計(jì)反思

本節(jié)從生動(dòng)有趣的問題情景出發(fā)，通過學(xué)生自主探究，運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決簡單的實(shí)際問題，既鞏固了基本知識(shí)點(diǎn)，又在將實(shí)際問題抽象成幾何圖形過程中，學(xué)會(huì)觀察，提高分析能力，滲透數(shù)學(xué)建摸思想．在設(shè)計(jì)中，我注重以下兩點(diǎn)：