驗(yàn)證勾股定理教案

第一環(huán)節(jié)：復(fù)習(xí)設(shè)疑，激趣引入

內(nèi)容：教師提出問(wèn)題：

（1）勾股定理的內(nèi)容是什么？（請(qǐng)一名學(xué)生回答）

（2）上節(jié)課我們僅僅是通過(guò)測(cè)量和數(shù)格子，對(duì)具體的直角三角形探索發(fā)現(xiàn)了勾股定理，對(duì)一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？這需要進(jìn)一步驗(yàn)證，如何驗(yàn)證勾股定理呢？事實(shí)上，現(xiàn)在已經(jīng)有幾百種勾股定理的驗(yàn)證方法，這節(jié)課我們也將去驗(yàn)證勾股定理.

意圖：（1）復(fù)習(xí)勾股定理內(nèi)容；（2）回顧上節(jié)課探索過(guò)程，強(qiáng)調(diào)仍需對(duì)一般的直角三角形進(jìn)行驗(yàn)證，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度；（3）介紹世界上有數(shù)百種驗(yàn)證方法，激發(fā)學(xué)生興趣.

效果：通過(guò)這一環(huán)節(jié)，學(xué)生明確了：僅僅探索得到勾股定理還不夠，還需進(jìn)行驗(yàn)證.當(dāng)學(xué)生聽(tīng)到有數(shù)百種驗(yàn)證方法時(shí)，馬上就有了去尋求屬于自己的方法的渴望.

第二環(huán)節(jié)：小組活動(dòng)，拼圖驗(yàn)證.

內(nèi)容：

活動(dòng)1： 教師導(dǎo)入，小組拼圖.

教師：今天我們將研究利用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理，請(qǐng)你利用自己準(zhǔn)備的四個(gè)全等的直角三角形，拼出一個(gè)以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形.（請(qǐng)每位同學(xué)用2分鐘時(shí)間獨(dú)立拼圖，然后再4人小組討論.）

活動(dòng)2：層層設(shè)問(wèn)，完成驗(yàn)證一.

學(xué)生通過(guò)自主探究，小組討論得到兩個(gè)圖形：

在此基礎(chǔ)上教師提問(wèn)：

（1）如圖1你能表示大正方形的面積嗎？能用兩種方法嗎？（學(xué)生先獨(dú)立思考，再4人小組交流）

（2）你能由此得到勾股定理嗎？為什么？（在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上板書(shū)(a+b)2=4ab+c2.并得到）

從而利用圖1驗(yàn)證了勾股定理.

活動(dòng)3： 自主探究，完成驗(yàn)證二.

教師小結(jié)：我們利用拼圖的方法，將形的問(wèn)題與數(shù)的問(wèn)題結(jié)合起來(lái)，聯(lián)系整式運(yùn)算的有關(guān)知識(shí)，從理論上驗(yàn)證了勾股定理，你還能利用圖2驗(yàn)證勾股定理嗎？

（學(xué)生先獨(dú)立探究，再小組交流，最后請(qǐng)一個(gè)小組同學(xué)上臺(tái)講解驗(yàn)證方法二）

意圖：設(shè)計(jì)活動(dòng)1的目的是為了讓學(xué)生在活動(dòng)中體會(huì)圖形的構(gòu)成，既為勾股定理的驗(yàn)證作鋪墊，同時(shí)也培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手、創(chuàng)新能力.在活動(dòng)2中，學(xué)生在教師的層層設(shè)問(wèn)引導(dǎo)下完成對(duì)勾股定理的驗(yàn)證，完成本節(jié)課的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容.設(shè)計(jì)活動(dòng)3，讓學(xué)生利用另一個(gè)拼圖獨(dú)立驗(yàn)證勾股定理的目的是讓學(xué)生再次體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想并體會(huì)成功的快樂(lè).

效果：學(xué)生通過(guò)先拼圖從形上感知，再分析面積驗(yàn)證，比較容易地掌握了本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容之一，并突破了本節(jié)課的難點(diǎn).

第三環(huán)節(jié)延伸拓展，能力提升

1.議一議:觀察下圖,用數(shù)格子的方法判斷圖中三角形的三邊長(zhǎng)是否滿足a2+b2=c2

2.一個(gè)直角三角形的斜邊為20cm ,且兩直角邊長(zhǎng)度比為3:4，求兩直角邊的長(zhǎng)。

意圖：在前面已經(jīng)討論了直角三角形三邊滿足的關(guān)系，那么銳角三角形或鈍角三角形的三邊 是否也滿足這一關(guān)系呢？學(xué)生通過(guò)數(shù)格子的方法可以得出：如果一個(gè)三角形不是直角三角形，那么它的三邊a,b,c不滿足a2+b2=c2。通過(guò)這個(gè)結(jié)論，學(xué)生將對(duì)直角三角形三邊的關(guān)系有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，并為后續(xù)直角三角形的判別打下基礎(chǔ)。

第四環(huán)節(jié)：例題講解 初步應(yīng)用

內(nèi)容：例題：飛機(jī)在空中水平飛行，某一時(shí)刻剛好飛到一個(gè)男孩子頭頂上方4000米處，過(guò)了20秒，飛機(jī)距離這個(gè)男孩子頭頂5000米，飛機(jī)每小時(shí)飛行多少千米？

意圖：（1）初步運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力；（2）體會(huì)勾股定理的應(yīng)用價(jià)值.

效果：學(xué)生對(duì)這樣的實(shí)際問(wèn)題很感興趣，基本能把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題并順利解決.

第五環(huán)節(jié)：追溯歷史 激發(fā)情感

活動(dòng)內(nèi)容：由學(xué)生利用所搜集的與勾股定理相關(guān)的資料進(jìn)行介紹.

國(guó)內(nèi)調(diào)查組報(bào)告：用圖2驗(yàn)證勾股定理的方法，據(jù)載最早是三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的，我國(guó)歷史上將圖2弦上的正方形稱(chēng)為弦圖 .2002年的數(shù)學(xué)家大會(huì)（ICM-2002）在北京召開(kāi)，這屆大會(huì)會(huì)標(biāo)的中央圖案正是經(jīng)過(guò)藝術(shù)處理的弦圖，這既標(biāo)志著中國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就，又像一只轉(zhuǎn)動(dòng)的風(fēng)車(chē)，歡迎來(lái)自世界各地的數(shù)學(xué)家們！

國(guó)際調(diào)查組報(bào)告：勾股定理與第一次數(shù)學(xué)危機(jī).

約公元前500年，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的弟子希帕索斯(Hippasus)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)驚人的事實(shí)，一個(gè)正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)度是不可公度的.按照畢達(dá)哥拉斯定理(勾股定理)，若正方形邊長(zhǎng)是1，則對(duì)角線的長(zhǎng)不是一個(gè)有理數(shù)，它不能表示成兩個(gè)整數(shù)之比，這一事實(shí)不但與畢氏學(xué)派的哲學(xué)信念大相徑庭，而且建立在任何兩個(gè)線段都可以公度基礎(chǔ)上的幾何學(xué)面臨被推翻的威脅，第一次數(shù)學(xué)危機(jī)由此爆發(fā).據(jù)說(shuō)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)希帕索斯的發(fā)現(xiàn)十分惶恐、惱怒，為了保守秘密，最后將希帕索斯投入大海.

不能表示成兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)，15世紀(jì)意大利著名畫(huà)家達(dá).芬奇稱(chēng)之為“無(wú)理的數(shù)”，無(wú)理數(shù)的英文“irrational”原義就是“不可比”.第一次數(shù)學(xué)危機(jī)一直持續(xù)到19世紀(jì)實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)建立以后才圓滿解決.我們將在下一章學(xué)習(xí)有關(guān)實(shí)數(shù)的知識(shí) .

趣聞?wù){(diào)查組報(bào)告：勾股定理的總統(tǒng)證法.

在1876年一個(gè)周末的傍晚，在美國(guó)首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景……他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個(gè)小石凳上，有兩個(gè)小孩正在聚精會(huì)神地談?wù)撝裁矗瑫r(shí)而大聲爭(zhēng)論，時(shí)而小聲探討．由于好奇心驅(qū)使他循聲向兩個(gè)小孩走去，想搞清楚兩個(gè)小孩到底在干什么．只見(jiàn)一個(gè)小男孩正俯著身子用樹(shù)枝在地上畫(huà)著一個(gè)直角三角形……

于是這位中年人不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下

的難題.他經(jīng)過(guò)反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給

出了簡(jiǎn)潔的證明方法.
1876年4月1日，他在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對(duì)勾股定理的這一證法.

1881年，這位中年人—伽菲爾德就任美國(guó)第二十任總統(tǒng).后來(lái)，人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀、簡(jiǎn)捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱(chēng)為“總統(tǒng)”證法.

說(shuō)明：這個(gè)環(huán)節(jié)完全由學(xué)生來(lái)組織開(kāi)展，教師可在兩天前布置任務(wù)，讓部分同學(xué)收集勾股定理的資料，并在上課前拷貝到教師用的課件中便于展示，內(nèi)容可靈活安排.

意圖：（1）介紹與勾股定理有關(guān)的歷史，激發(fā)學(xué)生的愛(ài)國(guó)熱情；（2）學(xué)生加強(qiáng)了對(duì)數(shù)學(xué)史的了解，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；（3）通過(guò)讓部分學(xué)生搜集材料，展示材料，既讓學(xué)生得到充分的鍛煉，同時(shí)也活躍了課堂氣氛.

效果：學(xué)生熱情高漲，對(duì)勾股定理的歷史充滿了濃厚的興趣，同時(shí)也為中國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就感到自豪.也有同學(xué)提出：當(dāng)代中國(guó)數(shù)學(xué)成就不夠強(qiáng)，還應(yīng)發(fā)奮努力.有同學(xué)能意識(shí)這一點(diǎn)，這讓我喜出望外.

第六環(huán)節(jié)： 回顧反思 提煉升華

內(nèi)容：教師提問(wèn)：通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么樣的收獲？師生共同暢談收獲.