雙曲線及其標準方程教學設計

課程目標

學科素養(yǎng)

A.掌握雙曲線的標準方程及其求法.

B.會利用雙曲線的定義和標準方程解決簡單實際問題.

C.與橢圓的標準方程進行比較,并加以區(qū)分.

1.數(shù)學抽象：雙曲線的定義

2.邏輯推理：運用定義推導雙曲線的標準方程

3.數(shù)學運算：雙曲線標準方程的求法

4.數(shù)學建模：運用雙曲線解法實際問題

5.直觀想象：雙曲線及其標準方程

教學過程

教學設計意圖

核心素養(yǎng)目標

一、情景導學

雙曲線也是具有廣泛應用的一種圓錐曲線，如發(fā)電廠冷卻塔的外形、通過聲音時差測定定位等都要用到雙曲線的性質。本節(jié)我們將類比橢圓的研究方法研究雙曲線的有關問題。

1.雙曲線的定義

從橢圓的情形一樣，下面我們用坐標法來探討嘗試與發(fā)現(xiàn)中的問題，并求出雙曲線的標準方程。

以所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，

此時雙曲線的焦點分別為

且與①右邊同時取正號或負號，①+ 整理得

=+ ③

將③式平方再整理得 ④

因為 ，所以>0

設=

且,則④可化為 (>0，>0)

設雙曲線的焦點為 ，焦距為，而且雙曲線上的動點P滿足

2a其中，以所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，此時；雙曲線的標準方程是什么？

2.雙曲線的標準方程

雙曲線與橢圓的比較

1.在雙曲線的定義中,若去掉條件0<2a<|F1F2|,則點的軌跡是怎樣的?

提示:①當2a等于|F1F2|時,動點的軌跡是以F1,F2為端點的兩條方向相反的射線(包括端點).

②當2a大于|F1F2|時,動點的軌跡不存在.

③當2a等于零時,動點軌跡為線段F1F2的垂直平分線.

2.判斷

(1)平面內到兩定點的距離的差等于常數(shù)(小于兩定點間距離)的點的軌跡是雙曲線.( )

(2)平面內到點F1(0,4),F2(0,-4)的距離之差等于5的點的軌跡是雙曲線.( )

(3)平面內到點F1(0,4),F2(0,-4)的距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線.( )

答案:(1) (2) (3)

3.過點(1,1),且的雙曲線的標準方程是( )

A.-y2=1 B.-x2=1

C.x2-=1 D.-y2=1或-x2=1

解析:∵,∴b2=2a2.

當焦點在x軸上時,設雙曲線方程為=1,

將點(1,1)代入方程中,得a2=.

此時雙曲線的標準方程為-y2=1.同理求得焦點在y軸上時,雙曲線的標準方程為-x2=1.答案:D

二、典例解析

例1求適合下列條件的雙曲線的標準方程.

(1)焦點在x軸上,a=2,經過點A(-5,2);

(2)經過兩點A(-7,-6),B(2,3).

分析(1)設雙曲線方程為=1(a>0,b>0),代入點的坐標,解方程即可得到.(2)可設雙曲線方程為mx2-ny2=1,代入點的坐標,得到方程組,解方程組即可得到.

解:(1)設雙曲線方程為=1(a>0,b>0),

則a=2=1,解得b2=16,則雙曲線的標準方程為=1.

(2)設雙曲線方程為mx2-ny2=1,

則有解得則雙曲線的標準方程為=1.

求雙曲線的標準方程與求橢圓的標準方程的方法相似,可以先根據(jù)其焦點位置設出標準方程,然后用待定系數(shù)法求出a,b的值.若焦點位置不確定,可按焦點在x軸和y軸上兩種情況討論求解,此方法思路清晰,但過程復雜.若雙曲線過兩定點,可設其方程為mx2+ny2=1(mn<0),通過解方程組即可確定m,n,避免了討論,從而簡化求解過程.

跟蹤訓練1 根據(jù)下列條件,求雙曲線的標準方程.

(1)焦點在x軸上,經過點P(4,-2)和點Q(2,2);

(2)過點P,Q且焦點在坐標軸上.

解:(1)因為焦點在x軸上,

可設雙曲線方程為=1(a>0,b>0),

將點(4,-2)和(2,2)代入方程得

解得a2=8,b2=4,

所以雙曲線的標準方程為=1.

(2)設雙曲線的方程為Ax2+By2=1,AB<0.

因為點P,Q在雙曲線上,

則解得

故雙曲線的標準方程為=1.

跟蹤訓練2. “神舟”九號飛船返回艙順利到達地球后,為了及時將航天員安全救出,地面指揮中心在返回艙預計到達區(qū)域安排了三個救援中心(記A,B,C),A在B的正東方向,相距6千米,C在B的北偏西30方向,相距4千米,P為航天員著陸點.某一時刻,A接收到P的求救信號,由于B,C兩地比A距P遠,在此4秒后,B,C兩個救援中心才同時接收到這一信號.已知該信號的傳播速度為1千米/秒,求在A處發(fā)現(xiàn)P的方位角.

解:因為|PC|=|PB|,所以P在線段BC的垂直平分線上.

又因為|PB|-|PA|=4<6=|AB|,

所以P在以A,B為焦點的雙曲線的右支上.

以線段AB的中點為坐標原點,AB的垂直平分線所在直線為y軸,正東方向為x軸正方向建立平面直角坐標系,如圖所示.

則A(3,0),B(-3,0),C(-5,2).

所以雙曲線方程為=1(x>2),

BC的垂直平分線方程為x-y+7=0.

聯(lián)立兩方程解得x=8(舍負),y=5, 所以P(8,5),

kPA=tan∠PAx=,所以∠PAx=60,

所以P點在A點的北偏東30方向.

通過實際問題，引導學生類比思考，引出雙曲線的定義。發(fā)展學生數(shù)學抽象，直觀想象的核心素養(yǎng)。

類比橢圓的標準方程推導，運用雙曲線定義推導其標準方程。發(fā)展學生數(shù)學抽象，數(shù)學運算，直觀想象的核心素養(yǎng)。

三、達標檢測

1.已知兩定點F1(-5,0),F2(5,0),動點P滿足|PF1|-|PF2|=2a,則當a=3和5時,P點的軌跡為( )

A.雙曲線和一條直線

B.雙曲線和一條射線

C.雙曲線的一支和一條直線

D.雙曲線的一支和一條射線

解析:當a=3時,根據(jù)雙曲線的定義及|PF1|>|PF2|可推斷出其軌跡是雙曲線的一支.當a=5時,方程y2=0,可知其軌跡與x軸重合,舍去在x軸負半軸上的一段,又因為|PF1|-|PF2|=2a,說明|PF1|>|PF2|,所以應該是起點為(5,0),與x軸重合向x軸正方向延伸的射線.

答案:D

2.已知雙曲線=1(a>0,b>0),F1,F2為其兩個焦點,若過焦點F1的直線與雙曲線的同一支相交,且所得弦長|AB|=m,則△ABF2的周長為( )

A.4a B.4a-m C.4a+2m D.4a-2m

解析:不妨設|AF2|>|AF1|,由雙曲線的定義,知|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,所以|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|BF1|)+4a=m+4a,于是△ABF2的周長l=|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m.故選C.

答案:C

3.已知方程=1表示雙曲線,則m的取值范圍是( )

A.(-1,+∞) B.(2,+∞) C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.(-1,2)

解析:∵方程=1,∴(m-2)(m+1)<0,

解得-1

答案:D

4. 一塊面積為12公頃的三角形形狀的農場.如圖所示△PEF,已知tan∠PEF=,tan∠PFE=-2,試建立適當直角坐標系,求出分別以E,F為左、右焦點且過點P的雙曲線方程.

解:以E,F所在直線為x軸,EF的垂直平分線為y軸建立直角坐標系,如圖.設以E,F為焦點且過點P的雙曲線方程為=1,

焦點為E(-c,0),F(c,0). 由tan∠PEF=,tan∠EFP=-2,

設∠PFx=α,則tan α=tan(π-∠EFP)=2,

得直線PE和直線PF的方程分別為y=(x+c)和y=2(x-c).

聯(lián)立兩方程,解得x=c,y=c, 即P點坐標為.

∵在△EFP中,|EF|=2c,EF上的高為點P的縱坐標,

∴S△EFP=c2=12,∴c=3,即P點坐標為(5,4).

由兩點間的距離公式

|PE|==4,|PF|==2,

∴a=.又b2=c2-a2=4,

故所求雙曲線的方程為=1.

5.求適合下列條件的雙曲線的標準方程.

(1)兩個焦點的坐標分別是(-5,0),(5,0),雙曲線上的點與兩焦點的距離之差的絕對值等于8;

(2)以橢圓=1長軸的端點為焦點,且經過點(3,);

(3)a=b,經過點(3,-1).

解:(1)由雙曲線的定義知,2a=8,所以a=4,又知焦點在x軸上,且c=5,

所以b2=c2-a2=25-16=9,所以雙曲線的標準方程為=1.

(2)由題意得,雙曲線的焦點在x軸上,且c=2.

設雙曲線的標準方程為=1(a>0,b>0),

則有a2+b2=c2=8,=1,解得a2=3,b2=5.

故所求雙曲線的標準方程為=1.

(3)當焦點在x軸上時,可設雙曲線方程為x2-y2=a2,將點(3,-1)代入,

得32-(-1)2=a2,所以a2=b2=8.因此,所求的雙曲線的標準方程為=1.當焦點在y軸上時,可設雙曲線方程為y2-x2=a2,將點(3,-1)代入,得(-1)2-32=a2,a2=-8,不可能,所以焦點不可能在y軸上.

綜上,所求雙曲線的標準方程為=1.

通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。