導數(shù)的四則運算法則教學設計

課程目標

學科素養(yǎng)

A.理解函數(shù)的和、差、積、商的求導法則．

B．能夠綜合運用導數(shù)公式和導數(shù)運算法則求函數(shù)的導數(shù)．

1.數(shù)學抽象：和、差、積、商的求導法則

2.邏輯推理：和、差、積、商的求導法則

3.數(shù)學運算：運用導數(shù)運算法則求函數(shù)的導數(shù)

教學過程

教學設計意圖

核心素養(yǎng)目標

一、新知探究

在例2中，當=5時，這時，求關(guān)于的導數(shù)可以看成求函數(shù) 一般地，如何求兩個函數(shù)和、差、積商的導數(shù)呢？

探究1：設計算與和有什么關(guān)系？再取幾組函數(shù)試試，上述關(guān)系仍然成立嗎？由此你能想到什么？

設，因為

所以=+

同樣地，對于上述函數(shù)，=

例3.求下列函數(shù)的導數(shù)

（1）

（2）

解：（1）

（2

探究:2： 設計算，它們是否相等？商的導數(shù)是否等于它們導數(shù)的商呢？

通過計算可知，= ，=

，同樣地也不相等

導數(shù)的運算法則

(1)和差的導數(shù)

[f(x)g(x)]′＝______________．

(2)積的導數(shù)

①[f(x)g(x)]′＝____________________；

②[cf(x)]′＝________．

(3)商的導數(shù)

′＝___________________________

f′(x)g′(x); f′(x)g(x)＋f(x)g′(x); cf′(x);

(g(x)≠0)

二、典例解析

例4.求下列函數(shù)的導數(shù)

（1）（2）

解：（1）

（2）求函數(shù)的導數(shù)的策略

(1)先區(qū)分函數(shù)的運算特點，即函數(shù)的和、差、積、商，再根據(jù)導數(shù)的運算法則求導數(shù)；

(2)對于三個以上函數(shù)的積、商的導數(shù)，依次轉(zhuǎn)化為“兩個”函數(shù)的積、商的導數(shù)計算．

跟蹤訓練1 求下列函數(shù)的導數(shù)：

(1)y＝x²＋log₃x； (2)y＝x³e^x； (3)y＝.

[解] (1)y′＝(x²＋log₃x)′＝(x²)′＋(log₃x)′＝2x＋.

(2)y′＝(x³e^x)′＝(x³)′e^x＋x³(e^x)′

＝3x²e^x＋x³e^x＝e^x(x³＋3x²)．

(3)y′＝′＝

＝＝－.

跟蹤訓練2 求下列函數(shù)的導數(shù)

（1）y＝tan x； （2）y＝2sin cos

解析：（1）y＝tan x＝，

故y′＝＝＝.

（2）y＝2sin cos ＝sin x，故y′＝cos x.

例5 日常生活中的飲用水通常是經(jīng)過凈化的，隨著水的純凈度的提高，所需進化費用不斷增加，已知將1t水進化到純凈度為所需費用（單位：元），為

求進化到下列純凈度時，所需進化費用的瞬時變化率：

（1） 90；（2） 98

解：凈化費用的瞬時變化率就是凈化費用函數(shù)的導數(shù)；

（1）因為所以，進化到純凈度為90時，凈化費用的變化瞬時率是元/噸.

（2）因為所以進化到純凈度為90時,凈化費用的變化瞬時率是1321元/噸.

例6 (1)函數(shù)y＝3sin x在x＝處的切線斜率為________．

(2)已知函數(shù)f(x)＝ax²＋ln x的導數(shù)為f′(x)．

①求f(1)＋f′(1)；

②若曲線y＝f(x)存在垂直于y軸的切線，求實數(shù)a的取值范圍．

(1)[解析] 由函數(shù)y＝3sin x，得y′＝3cos x，

所以函數(shù)在x＝處的切線斜率為3cos＝.

[答案]

(2)[解] ①由題意，函數(shù)的定義域為(0，＋∞)，

由f(x)＝ax²＋ln x，得f′(x)＝2ax＋，

所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1.

②因為曲線y＝f(x)存在垂直于y軸的切線，

故此時切線斜率為0，

問題轉(zhuǎn)化為在x∈(0，＋∞)內(nèi)導函數(shù)f′(x)＝2ax＋存在零點，

即f′(x)＝0，所以2ax＋＝0有正實數(shù)解，

即2ax²＝－1有正實數(shù)解，故有a<0，所以實數(shù)a的取值范圍是(－∞，0)． 關(guān)于函數(shù)導數(shù)的應用及其解決方法

(1)應用：導數(shù)應用主要有：求在某點處的切線方程，已知切線的方程或斜率求切點，以及涉及切線問題的綜合應用；

(2)方法：先求出函數(shù)的導數(shù)，若已知切點則求出切線斜率、切線方程；若切點未知，則先設出切點，用切點表示切線斜率，再根據(jù)條件求切點坐標．總之，切點在解決此類問題時起著至關(guān)重要的作用．

通過對上節(jié)例題的提問，引導學生探究導數(shù)的四則運算法則。發(fā)展學生數(shù)學抽象、數(shù)學運算、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。

通過對導數(shù)四則運算法則的運用。發(fā)展學生數(shù)學抽象、數(shù)學運算和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。

通過典型例題的分析和解決，幫助學生熟練掌握導數(shù)的運算法則，發(fā)展學生數(shù)學運算，直觀想象和數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)。

三、達標檢測

1．已知函數(shù)f(x)＝ax²＋c，且f′(1)＝2，則a的值為 ( )

A．1 B． C．－1 D．0

解析：∵f(x)＝ax²＋c，∴f′(x)＝2ax，又∵f′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1. 答案：A

2. 已知物體的運動方程為s＝t²＋(t是時間，s是位移)，則物體在時刻t＝2時的速度為 ( )

A. B. C. D.

解析：∵s′＝2t－，∴s′|_t＝2＝4－＝.

答案：D

3.如圖有一個圖象是函數(shù)f(x)＝x³＋ax²＋(a²－1)x＋1(a∈R，且a≠0)的導函數(shù)的圖象，則f(－1)＝ ( )

A． B．－ C． D．－或

解析：f′(x)＝x²＋2ax＋a²－1＝[x＋(a＋1)][x＋(a－1)]，

圖(1)與(2)中，導函數(shù)的圖象的對稱軸都是y軸，

此時a＝0，與題設不符合，

故圖(3)中的圖象是函數(shù)f(x)的導函數(shù)的圖象．

由圖(3)知f′(0)＝0，

由根與系數(shù)的關(guān)系得

解得a＝－1.故f(x)＝x³－x²＋1，所以f(－1)＝－.

答案：B

4.求下列函數(shù)的導數(shù)．

(1)y＝x^－2＋x²；(2)y＝3^xe^x－2^x＋e；

(3)y＝；(4)y＝x²－sin cos.

[解] (1)y′＝2x－2x^－3.

(2)y′＝(ln 3＋1)(3e)^x－2^xln 2.

(3)y′＝.

(4)∵y＝x²－sincos＝x²－sin x，

∴y′＝2x－cos x.

通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。