第一章角形的邊角關(guān)系教案

一、本章知識要點：

1、銳角三角函數(shù)的概念；

2、解直角三角形。

二、本章教材分析：

（一）.使學生正確理解和掌握三角函數(shù)的定義，才能正確理解和掌握直角三角形中邊與角的相互關(guān)系，進而才能利用直角三角形的邊與角的相互關(guān)系去解直角三角形，因此三角形函數(shù)定義既是本章的重點又是理解本章知識的關(guān)鍵,而且也是本章知識的難點。如何解決這一關(guān)鍵問題，教材采取了以下的教學步驟：

1. 從實際中提出問題，如修建揚水站的實例，這一實例可歸結(jié)為已知RtΔ的一個銳角和斜邊求已知角的對邊的問題。顯然用勾股定理和直角三角形兩個銳角互余中的邊與邊或角與角的關(guān)系無法解出了，因此需要進一步來研究直角三角形中邊與角的相互關(guān)系。

2. 教材又采取了從特殊到一般的研究方法利用學生的舊知識，以含30、45的直角三角形為例：揭示了直角三角形中一個銳角確定為30時，那么這角的對邊與斜邊之比就確定比值為1：2，接著以等腰直角三角形為例，說明當一個銳角確定為45時，其對邊與斜邊之比就確定為,同時也說明了銳角的度數(shù)變化了,由30變?yōu)?5后,其對邊與斜邊的比值也隨之變化了,由到。這樣就突出了直角三角形中邊與角之間的相互關(guān)系。

3. 從特殊角的例子得到的結(jié)論是否也適用于一般角度的情況呢？教材中應(yīng)用了相似三角形的性質(zhì)證明了:當直角三角形的一個銳角取任意一個固定值時，那么這個角的對邊與斜邊之比的值仍是一個固定的值，從而得出了正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義，同理也可得出正切、余切函數(shù)的定義。

4. 在最開始給出三角函數(shù)符號時，應(yīng)該把正確的讀法和寫法加強練習，使學生熟練掌握。同時要強調(diào)三角函數(shù)的實質(zhì)是比值。防止學生產(chǎn)生sinX=60,sinX=等錯誤，要講清sinA不是sin*A而是一個整體。如果學生產(chǎn)生類似的錯誤，應(yīng)引導學生重新復習三角函數(shù)定義。

5. 在總結(jié)規(guī)律的基礎(chǔ)上，要求學生對特殊角的函數(shù)值要記準、記牢,再通過有關(guān)的練習加以鞏固。在解三角形的過程中，需要會求一般銳角的三角函數(shù)值，并會由已知的三角函數(shù)值求對應(yīng)的角度。為此，教材中安排介紹了查三角函數(shù)表的方法，學生在查表過程中容易出錯，尤其是在查余弦、余切表時，特別是在查表前，應(yīng)適當講一下銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律。

6. 從定義總結(jié)同角三角函數(shù)關(guān)系式：在學生熟練掌握定義的基礎(chǔ)上，師生共同來發(fā)現(xiàn)如下的同角三角函數(shù)關(guān)系式，培養(yǎng)學生分析問題、總結(jié)規(guī)律、發(fā)現(xiàn)問題的習慣和能力。

例如：

sinA=sinB=

cosA=cosB=

tanA= tanB=

cotA=cotB=

有哪些函數(shù)的值相等呢？如下：

sinA=cosB

∵∠A+∠B=90 cos(90-B)=sinB

∠A=90-∠B tan(90-B)=cotB

∴sin(90-∠B)=cosB cot(90-B)=tanB

關(guān)于∠A可由學生自己推出。

又有: tanAcotA= tanA= cotA=

∵ sinA=

cosA=

∴

四個三角函數(shù)的基本性質(zhì)：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值和查三角函數(shù)可以得出：

①正弦、正切的函數(shù)值是隨著角度的增大而增大，正弦函數(shù)（在090）

sin0=0, sin90=1,正切函數(shù)(在090)tan0, tan90不存在。

②余弦、余切的函數(shù)值是隨角度的增大而減小，余弦函數(shù)(090) cos0=1,

cos90=0，cos0不存在，cot90=1.

為了鞏固這一部分知識，應(yīng)該通過一些基本練習題使學生達到熟練掌握的目的。

練習題如下：

填空：（1）知：α+β=90，sinα= 則 cosβ=——.

（2） 已知：sin27=a,則cos63=___.

（3） 已知：tan42=c, 則cot48=__.

（4） 計算： tan48+——.

（5） 已知A為銳角，化簡：——.

（6） 已知O<α<45，化簡= ——.

（7） 化簡：= ——.

（8）已知：cosα=0.1756,sinβ=0.1756 則銳角α與β之間的關(guān)系是__。

（9） 在ΔABC中，∠C=90，如果45

（10） 已知ΔABC中∠C=90，0<∠B<45，那么(sin A–cos A)與 (sin B-cos B)中是正數(shù)的是 。

（11）ΔABC中，∠C=90，a、b、c為∠A、∠B、∠C的對邊，當b=10時,sinA=m(m為常數(shù)),當b=100時,a、b、c各擴大10倍， sinA=___.

（12）ΔABC中,∠B=30，∠C=45,AB=8cm,則AC=___,

判斷下列各題是否正確（α角為銳角）

（1）sinα=cos42,則α=42 （ ）

（2）cotα=tan17，則α=83 （ ）

（3）cos(90-α)=sin36,α=36 ( )

（4）tan(90-α)=cot53,α=37 ( )

（5）sin40+sin30=sin70 ( )

（6） ( )

不查表判斷下列各式的正負：

(1)cot75 ( ) (2)cos42-cos46( )

(3)cos46-cos47 ( )(4)tan75-cot14 ( )

(5)sin50-cos50 ( ) (6)tan50-sin50 ( )

（二）、解直角三角形

1、解直角三角形是本章重點，正確地選擇關(guān)系式，先將已知和未知聯(lián)系起來，然后進行正確地計算是解直角三角形的關(guān)鍵。

2、解直角三角形的依據(jù)有如下公式：

① 三邊之間關(guān)系：

② 角之間關(guān)系： ∠A+∠B=90

③ 邊角之間關(guān)系：sinA=cosB=；cosA=sinB=；

tanA=cotB=； cotA=tanB=。

3、直角三角形可解的條件：在兩個銳角和三邊這五個條件中，必須已知兩個獨立的條件且兩個條件中至少有一個條件是邊。根據(jù)可解的條件的分類，可有如下類型及其解法：

a已知兩邊：兩條直角邊（a , b ）解法：c=

tanA=求∠A

∠B=90-∠A

斜邊和一條直角邊( a, c ) 解法： b=

用sinA=求A

∠B=90-∠A

b一邊和一銳角 一條直角邊和銳角A:∠B=90-∠A

b=

c=

斜邊C和銳角A: ∠B=90-∠A

a=c sinA

b=

4、解直角三角形的應(yīng)用

（1）、解決實際中提出的問題：如測量、航海、工程技術(shù)和物理學中的有關(guān)距離、高度、角度的計算，應(yīng)用中要根據(jù)題意，準確畫出圖形，從圖中確定要解的直角三角形，解直角三角形時，充分使用原始數(shù)據(jù)，正確選擇關(guān)系式，使運算盡可能簡便、準確。

（2）、在解決實際問題中，仰角俯角；坡度坡角水平距離，垂直距離等概念，一定要在弄清概念的含意的基礎(chǔ)上，辨別出圖中這些概念的位置。

（3）、如果圖中無直角三角形，可適當?shù)刈鞔咕€，轉(zhuǎn)化為直角三角形，間接地解出。

（4）、在解一些較復雜圖形時，注意借助于幾何圖形的性質(zhì)，可使得問題得到解決。

練習題如下：

1、填空：

（1）等腰三角形腰長為10cm，頂角為120，則三角形底邊長為，高為 ，面積為 。

（2）正三角形邊長為2a，則一邊上的高線長為 。

（3）正三角形一邊上中線長為3，則邊長為 。

（4） 正三角形一邊長為6，則正三角形外接圓半徑R= 。

（5） RtΔABC中，∠C=90，a、b、c分別為A、B、C的對邊，a+c=4+，∠A=60，則R= ，C= 。

2、梯形的兩底邊分別為15cm，5cm，兩底角分別為60，30。求梯形的周長。

3、如圖電視塔建立在20米高的小山頂上，從水面上一點D測得塔頂A的仰角為60，測得塔基B的仰角為30，求塔高AB。4、在ΔABC中，∠C=90，a=10，ΔABC的面積SΔ=，求角A及邊長C。