三元一次方程組教案

第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設情景，導入新課

內(nèi)容：

問題1.已知甲、乙、丙三數(shù)的和是23，甲數(shù)比乙數(shù)大1，甲數(shù)的兩倍與乙數(shù)的和比丙數(shù)大20，求這三個數(shù).

(這里有三個要求的量，直接設出三個未知數(shù)列方程組，順理成章，直截了當，容易理解)

教師提問：如果設這三數(shù)分別為x，y，z，用它們可以表示哪些等量關(guān)系？

預測學生回答：；；

教師提問：這個方程組和前面學過的二元一次方程組有什么區(qū)別和聯(lián)系？

預測學生回答：①未知數(shù)個數(shù)和方程都比二元一次方程組多一個；②未知數(shù)次數(shù)都是一次.

活動：翻開書本P129，朗讀三元一次方程組的概念：

在這個方程組中，都含有三個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，這樣的方程叫做三元一次方程（linearequation with three unknowns）.

像這樣共含有三個未知數(shù)的三個一次方程所組成的一組方程，叫做三元一次方程組（system oflinear equations with three unknowns）

關(guān)注概念中的三個要點：①未知數(shù)的個數(shù)；②未知數(shù)的次數(shù)；③未知數(shù)同時滿足三個等量關(guān)系,

三元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個三元一次方程組的解.

目的：通過第1個活動，希望學生能找出等量關(guān)系，設出未知數(shù)建立方程，此環(huán)節(jié)既是學習了二元一次方程組后對建立方程組基本方法的練習，也通過類比引出本節(jié)課的要解決的問題——解三元一次方程組.

教學要求與效果：通過創(chuàng)設問題情境，引入新課，使學生了解三元一次方程組的概念及本節(jié)課要解決的問題，強調(diào)審題抓住的三個等量關(guān)系，從而表示成以上三個方程，這個問題的解答必須同時滿足這三個條件，因此，把這三個方程聯(lián)立起來，成為，引出三元一次方程組的概念.

第二環(huán)節(jié)：類比學習，探究新知

內(nèi)容：引導學生回顧前面所學二元一次方程組解法的基本指導思想——消元，以及消元的基本方法（代入消元、加減消元），嘗試對 進行消元，從而解決問題1.

步驟（1）選取一種方法解此三元一次方程組，由學生獨立思考解決，教師注意指導學生規(guī)范表達.

步驟（2）在學生獨立選擇方法解決的基礎(chǔ)上，引導學生進行比較：在解三元一次方程組時的消元與解二元一次方程組的消元有什么不同？解上面的方程組時，你能先消去未知數(shù)y（或z），從而得到方程組的解嗎？

（先讓學生獨立思考，然后在學生充分思考的前提下，進行小組討論，在此基礎(chǔ)上由學生代表回答，老師適時地引導與補充，力求通過學生觀察、思考與討論后能得出以下的一些要點）

1.三元一次方程組的消元可以類比二元一次方程組的消元進行；

2.用代入消元法：由于方程組③式的特點，可將③式分別代入①②式，消去x，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于y，z的二元一次方程組的求解；

3.用加減消元法：由于③式中沒有含z，可以將①，②式聯(lián)立相加，消掉z，從而得到關(guān)于x， y的二元一次方程組的求解；

4.總結(jié)求解三元一次方程組的整體思路——消元，實現(xiàn)三元二元一元的轉(zhuǎn)化.在消元過程中，消“誰”都行，用那種消法（代入法、加減法）也可，但如果選擇合適，可提高計算的效率.

目的：結(jié)合情境問題中列出的方程組，類比前面所學二元一次方程組的解法，得到解三元一次方程組的整體思路——消元，并找出相應的消元方法.

教學要求與效果：

（1）教師板書用代入法消元的求解過程，強調(diào)解題的格式.求解完后引導學生總結(jié)三元一次方程組的求解思路：三元二元一元，關(guān)鍵在于消元；

（2）引導學生類比一元二次方程組加減消元法對方程組進行消元.

第三環(huán)節(jié)：理解鞏固

內(nèi)容：解方程（1） （2）

目的：方程組（1）是在課本例1的基礎(chǔ)上，改變系數(shù)所得，因為本題的意圖是讓學生模仿老師的做法自行操作的第一題，所以盡量讓各項系數(shù)簡單一些，讓學生練習感覺愉悅一些.方程組（2）的三個方程均含有三個未知數(shù)的三元一次方程組，和學生一起探求出解決的整體思路.然后讓學生自行求解，使其進一步理解三元一次方程組的求解方法，培養(yǎng)計算能力.

教學要求與效果：

（1）引導學生觀察方程組（2）的特點，此方程組與前面不一樣，三個方程都不缺“誰”，消誰好，用什么方法消？

（2）通過對（1）（2）的對比，引導學生總結(jié)出消元的具體做法是：①如果已有某個未知數(shù)的表達式，直接用代入消元，否則常用加減消元.②用加減消元時，如果方程組中有至少一個方程只有兩個未知數(shù)，缺哪個未知數(shù)就消哪個.

（3）在前面例題和練習的基礎(chǔ)上，對本課解過的三個方程組進行比較，談談解決的方法.總結(jié)求解三元一次方程組的整體思路——消元，實現(xiàn)三元二元一元的轉(zhuǎn)化.在消元過程中，消“誰”都行，用那種消法（代入法、加減法）也可，但如果選擇合適，可提高計算的效率. 具體做法是：①如果已有某個未知數(shù)的表達式，直接用代入消元，否則常用加減消元.②用加減消元時，如果方程組中有至少一個方程只有兩個未知數(shù)，缺哪個未知數(shù)就消哪個.③用加減消元時，如果方程組中三個方程均含有三個未知數(shù)，通常要進行兩次消元才能轉(zhuǎn)化為二元一次方程組.

第四環(huán)節(jié)：實際應用

內(nèi)容：某校初中三個年級共有651人，八年級的學生比九年級的學生人數(shù)多10%，七年級的學生比八年級多5%，求三個年級各有多少學生？

解：由題意設七，八，九年級的學生人數(shù)分別為x,y,z人，得方程：

由②可將z用y表示，由③可將x用y表示，代入①可得到關(guān)于y的一元一次方程.

解得： 所以，七，八，九年級的學生人數(shù)分別為231,220,200人.

目的：運用數(shù)學知識解決實際問題是數(shù)學教學的重要內(nèi)容.本環(huán)節(jié)回歸用三元一次方程組解決實際應用問題，體現(xiàn)了數(shù)學來源于生活，又服務于生活，意在培養(yǎng)學生“用數(shù)學”的意識．

教學要求與效果：放手讓學生用已經(jīng)獲取的經(jīng)驗去解決新的問題，由學生自己完成，讓兩個學生在黑板上規(guī)范的板書，教師巡視：發(fā)現(xiàn)學生的閃光點以及存在的問題并適時的加以輔導，以期學生在解答的過程中領(lǐng)會“代入消元法”的真實含義和“化歸”的數(shù)學思想.

第五環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)

內(nèi)容：

（1）三元一次方程組的概念；

（2）三元一次方程組的解法；

注意選好要消的“元”，選好要消的“法”：代入消元、加減消元；

(3)談談求解多元一次方程組的思路，提煉化歸的思想.

目的：引導學生自己小結(jié)本節(jié)課的知識要點及數(shù)學方法，使這節(jié)課知識系統(tǒng)化，感性認識上升為理性認識.

教學要求與效果：學生能夠在課堂上暢所欲言，并通過自己的歸納總結(jié)，進一步鞏固了所學知識，教師視其情況，可以選擇展示一些前面小節(jié)中用過問題情境和實際問題對學生的總結(jié)從知識、方法和思想層面去總結(jié)和提高，讓學生體會到數(shù)學與生活的聯(lián)系，激發(fā)學生的學習熱情．

第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)；

內(nèi)容：

1.課本習題5.9

2.有同學說列三元一次方程組能解決的問題，一元一次方程也能解決，說一下你的看法.