代入法教案

第一環(huán)節(jié)：情境引入

內(nèi)容：

教師引導(dǎo)學(xué)生共同回憶上一節(jié)課討論的“買門票”問題，想一想當(dāng)時(shí)是怎么獲得二元一次方程組的解的.

設(shè)他們中有x個(gè)成人，y個(gè)兒童，我們得到了方程組成人和兒童到底去了多少人呢？在上一節(jié)課的“做一做”中，我們通過檢驗(yàn)是不是方程和方程的解，從而得知這個(gè)解既是的解，也是的解，根據(jù)二元一次方程組的解的定義，得出是方程組的解.所以成人和兒童分別去了5人和3人.

提出問題：每一個(gè)二元一次方程的解都有無數(shù)多個(gè)，而方程組的解是方程組中各個(gè)方程的公共解，前面的方法中我們找到了這個(gè)公共解，但如果數(shù)據(jù)不巧，這可沒那么容易，那么，有什么方法可以獲得任意一個(gè)二元一次方程組的解呢？

目的：“溫故而知新”，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成時(shí)時(shí)回顧已有知識(shí)的習(xí)慣，并在回顧的過程中學(xué)會(huì)思考和質(zhì)疑，通過質(zhì)疑，自然地引出我們要研究和解決的問題.

設(shè)計(jì)效果：通過對已有知識(shí)的回顧和思考，學(xué)生知識(shí)獲得既感到自然又倍添新奇，有躍躍欲試的心情.

第二環(huán)節(jié)：探索新知

內(nèi)容：

回顧七年級(jí)第一學(xué)期學(xué)習(xí)的一元一次方程，是不是也曾碰到過類似的問題，能否利用一元一次方程求解該問題？（由學(xué)生獨(dú)立思考解決，教師注意指導(dǎo)學(xué)生規(guī)范表達(dá)）

解：設(shè)去了x個(gè)成人，則去了個(gè)兒童，根據(jù)題意，得：

解得：

將代入,

解得：8－5=3.

答：去了5個(gè)成人， 3個(gè)兒童.

在學(xué)生解決的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較：列二元一次方程組和列一元一次方程設(shè)未知數(shù)有何不同？列出的方程和方程組又有何聯(lián)系？對你解二元一次方程組有何啟示？

（先讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后在學(xué)生充分思考的前提下，進(jìn)行小組討論，在此基礎(chǔ)上由學(xué)生代表回答，老師適時(shí)地引導(dǎo)與補(bǔ)充，力求通過學(xué)生觀察、思考與討論后能得出以下的一些要點(diǎn).）

1.列二元一次方程組設(shè)有兩個(gè)未知數(shù)：x個(gè)成人，y個(gè)兒童.列一元一次方程只設(shè)了一個(gè)未知數(shù)：x個(gè)成人，兒童去的個(gè)數(shù)等于去的總?cè)藬?shù)與去的成人數(shù)之差，得出個(gè).因此y應(yīng)該等于.而由二元一次方程組的一個(gè)方程，根據(jù)等式的性質(zhì)可以推出.

2.發(fā)現(xiàn)一元一次方程中與方程組中的第二個(gè)方程相類似，只需把中的“y”用“”代替就轉(zhuǎn)化成了一元一次方程.

教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)了新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，便可尋求到解決新問題的方法——即將新知識(shí)（二元一次方程組）轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)（一元一次方程）便可.

（由學(xué)生來回答）上一節(jié)課我們就已知道方程組中相同的字母表示的是同一個(gè)未知量.所以將中的①變形，得③，我們把代入方程②，即將②中的y用代替，這樣就有.“二元”化成“一元”.

教師總結(jié)：同學(xué)們很善于思考.這就是我們在數(shù)學(xué)研究中經(jīng)常用到的“化未知為已知”的化歸思想，通過它使問題得到完美解決.下面我們完整地解一下這個(gè)二元一次方程組.

（教師把解答的詳細(xì)過程板書在黑板上，并要求學(xué)生一起來完成）

解：

由?得：. ③

將③代入②得：

解得：

把代入③得：

所以原方程組的解為：

（提醒學(xué)生進(jìn)行檢驗(yàn)，即把求出的解代入原方程組，必然使原方程組中的每個(gè)方程都同時(shí)成立，如不成立，則可知解有誤）

下面我們試著用這種方法來解答上一節(jié)的“誰的包裹多”的問題.

（放手讓學(xué)生用已經(jīng)獲取的經(jīng)驗(yàn)去解決新的問題，由學(xué)生自己完成，讓兩個(gè)學(xué)生在黑板上規(guī)范的板書，教師巡視：發(fā)現(xiàn)學(xué)生的閃光點(diǎn)以及存在的問題并適時(shí)的加以輔導(dǎo)，以期學(xué)生在解答的過程中領(lǐng)會(huì)“代入消元法”的真實(shí)含義和“化歸”的數(shù)學(xué)思想.）

目的：通過學(xué)生自己對比、思考、發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生驚喜的發(fā)現(xiàn)“溫故而知新”，將新知融入舊知，體會(huì)“化未知為已知”的化歸思想的神奇，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立獲取知識(shí)的愿望和能力.

設(shè)計(jì)效果：通過學(xué)生自己的觀察、比較、總結(jié)出二元一次方程組的解法，從中體會(huì)到解方程組中“消元”的本質(zhì).

第三環(huán)節(jié)：鞏固新知

內(nèi)容：

1.例：解下列方程組：

(1) (2)

（根據(jù)學(xué)生的情況可以選擇學(xué)生自己完成或教師指導(dǎo)完成）

(1)解：將②代入①，得：.

解得：.

把代入②，得：

所以原方程組的解為：

(2)由②，得：. ③

將③代入①，得：.

解得：.

將y=2代入③，得：

所以原方程組的解是

（⑵題需先進(jìn)行恒等變形，教師要鼓勵(lì)學(xué)生通過自主探索與交流獲得求解，在求解過程中學(xué)生消元的具體方法可能不同，所以教學(xué)中不必強(qiáng)求解答過程的統(tǒng)一，但要提出如何選擇將哪個(gè)方程恒等變形、消去哪個(gè)未知數(shù)能使運(yùn)算較為簡單.讓學(xué)生在解題中進(jìn)行思考）

（教師在解完后要引導(dǎo)學(xué)生再次就解出的結(jié)果進(jìn)行思考，判斷它們是否是原方程組的解.促使學(xué)生進(jìn)一步理解方程組解的含義以及學(xué)會(huì)檢驗(yàn)方程組解的方法.）

2.思考總結(jié)：（教師根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行生與生、師與生之間的相互補(bǔ)充與評(píng)價(jià)，并提出下面的問題）

⑴給這種解方程組的方法取個(gè)什么名字好？

⑵上面解方程組的基本思路是什么？

⑶主要步驟有哪些？

⑷我們觀察例題的解法會(huì)發(fā)現(xiàn)，我們在解方程組之前，首先要觀察方程組中未知數(shù)的特點(diǎn)，盡可能地選擇變形后的方程較簡單和代入后化簡比較容易的方程變形，這是關(guān)鍵的一步.你認(rèn)為選擇未知數(shù)有何特點(diǎn)的方程變形好呢？

(由學(xué)生分組討論，教師深入?yún)⑴c到學(xué)生討論中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在自主探索、討論過程中的獨(dú)特想法，請學(xué)生小組的代表回答或?qū)W生舉手回答，其余學(xué)生可以補(bǔ)充，力求讓學(xué)生能夠回答出以下的要點(diǎn)，教師要板書要點(diǎn)，在學(xué)生回答時(shí)注意進(jìn)行積極評(píng)價(jià))

1.在解上面兩個(gè)二元一次方程組時(shí)，我們都是將其中的一個(gè)方程變形，即用含其中一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù)，然后代入另一個(gè)未變形的方程，從而由“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”，達(dá)到消元的目的.我們將這種方法叫代入消元法.

2.解二元一次方程組的基本思路是消元，把“二元”變?yōu)椤耙辉?

3.解上述方程組的步驟：

第一步：在已知方程組的兩個(gè)方程中選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)姆匠?，將它的某個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來.

第二步：把此代數(shù)式代入沒有變形的另一個(gè)方程中，可得一個(gè)一元一次方程.

第三步：解這個(gè)一元一次方程，得到一個(gè)未知數(shù)的值.

第四步：把求得的未知數(shù)的值代回到原方程組中的任意一個(gè)方程或變形后的方程(一般代入變形后的方程)，求得另一個(gè)未知數(shù)的值.

第五步：把方程組的解表示出來.

第六步：檢驗(yàn)(口算或筆算在草稿紙上進(jìn)行)，即把求得的解代入每一個(gè)方程看是否成立.

4.用代入消元法解二元一次方程組時(shí)，盡量選取一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對值是1的方程進(jìn)行變形；若未知數(shù)的系數(shù)的絕對值都不是1，則選取系數(shù)的絕對值較小的方程變形.

目的：進(jìn)一步熟悉解二元一次方程組的基本思路，熟練解二元一次方程組的基本步驟和過程，并能對二元一次方程組的解進(jìn)行檢驗(yàn).

設(shè)計(jì)效果：通過本環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠獨(dú)立地運(yùn)用代入消元法解二元一次方程組.

第四環(huán)節(jié)：練習(xí)提高

內(nèi)容：

1.教材隨堂練習(xí)（在隨堂練習(xí)中，可以鼓勵(lì)學(xué)生通過自主探索與交流，各個(gè)學(xué)生消元的具體方法可能不同，可以不必強(qiáng)調(diào)解答過程統(tǒng)一.可能會(huì)出現(xiàn)整體代換的思想，若有條件可以提出，為下一課做點(diǎn)鋪墊也可以）

2.補(bǔ)充練習(xí)：用代入消元法解下列方程組：

(1) (2) ⑶

（注：[2]題可以用整體代入法來解，把第二個(gè)方程變?yōu)椋賹⑺氲谝粋€(gè)方程，得；[3]題分?jǐn)?shù)線有括號(hào)功能；[4]題如果有時(shí)間，學(xué)生學(xué)有余力可作為補(bǔ)充題目.）

目的：對本節(jié)知識(shí)進(jìn)行鞏固練習(xí).

設(shè)計(jì)效果：通過練習(xí)，鞏固和熟練了運(yùn)用代入消元法解二元一次方程組的方法.