代入法教案

第一環(huán)節(jié)：情境引入

內(nèi)容：

教師引導學生共同回憶上一節(jié)課討論的“買門票”問題，想一想當時是怎么獲得二元一次方程組的解的.

設他們中有x個成人，y個兒童，我們得到了方程組成人和兒童到底去了多少人呢？在上一節(jié)課的“做一做”中，我們通過檢驗是不是方程和方程的解，從而得知這個解既是的解，也是的解，根據(jù)二元一次方程組的解的定義，得出是方程組的解.所以成人和兒童分別去了5人和3人.

提出問題：每一個二元一次方程的解都有無數(shù)多個，而方程組的解是方程組中各個方程的公共解，前面的方法中我們找到了這個公共解，但如果數(shù)據(jù)不巧，這可沒那么容易，那么，有什么方法可以獲得任意一個二元一次方程組的解呢？

目的：“溫故而知新”，培養(yǎng)學生養(yǎng)成時時回顧已有知識的習慣，并在回顧的過程中學會思考和質(zhì)疑，通過質(zhì)疑，自然地引出我們要研究和解決的問題.

設計效果：通過對已有知識的回顧和思考，學生知識獲得既感到自然又倍添新奇，有躍躍欲試的心情.

第二環(huán)節(jié)：探索新知

內(nèi)容：

回顧七年級第一學期學習的一元一次方程，是不是也曾碰到過類似的問題，能否利用一元一次方程求解該問題？（由學生獨立思考解決，教師注意指導學生規(guī)范表達）

解：設去了x個成人，則去了個兒童，根據(jù)題意，得：

解得：

將代入,

解得：8－5=3.

答：去了5個成人， 3個兒童.

在學生解決的基礎上，引導學生進行比較：列二元一次方程組和列一元一次方程設未知數(shù)有何不同？列出的方程和方程組又有何聯(lián)系？對你解二元一次方程組有何啟示？

（先讓學生獨立思考，然后在學生充分思考的前提下，進行小組討論，在此基礎上由學生代表回答，老師適時地引導與補充，力求通過學生觀察、思考與討論后能得出以下的一些要點.）

1.列二元一次方程組設有兩個未知數(shù)：x個成人，y個兒童.列一元一次方程只設了一個未知數(shù)：x個成人，兒童去的個數(shù)等于去的總?cè)藬?shù)與去的成人數(shù)之差，得出個.因此y應該等于.而由二元一次方程組的一個方程，根據(jù)等式的性質(zhì)可以推出.

2.發(fā)現(xiàn)一元一次方程中與方程組中的第二個方程相類似，只需把中的“y”用“”代替就轉(zhuǎn)化成了一元一次方程.

教師引導學生發(fā)現(xiàn)了新舊知識之間的聯(lián)系，便可尋求到解決新問題的方法——即將新知識（二元一次方程組）轉(zhuǎn)化為舊知識（一元一次方程）便可.

（由學生來回答）上一節(jié)課我們就已知道方程組中相同的字母表示的是同一個未知量.所以將中的①變形，得③，我們把代入方程②，即將②中的y用代替，這樣就有.“二元”化成“一元”.

教師總結(jié)：同學們很善于思考.這就是我們在數(shù)學研究中經(jīng)常用到的“化未知為已知”的化歸思想，通過它使問題得到完美解決.下面我們完整地解一下這個二元一次方程組.

（教師把解答的詳細過程板書在黑板上，并要求學生一起來完成）

解：

由?得：. ③

將③代入②得：

解得：

把代入③得：

所以原方程組的解為：

（提醒學生進行檢驗，即把求出的解代入原方程組，必然使原方程組中的每個方程都同時成立，如不成立，則可知解有誤）

下面我們試著用這種方法來解答上一節(jié)的“誰的包裹多”的問題.

（放手讓學生用已經(jīng)獲取的經(jīng)驗去解決新的問題，由學生自己完成，讓兩個學生在黑板上規(guī)范的板書，教師巡視：發(fā)現(xiàn)學生的閃光點以及存在的問題并適時的加以輔導，以期學生在解答的過程中領會“代入消元法”的真實含義和“化歸”的數(shù)學思想.）

目的：通過學生自己對比、思考、發(fā)現(xiàn)，讓學生驚喜的發(fā)現(xiàn)“溫故而知新”，將新知融入舊知，體會“化未知為已知”的化歸思想的神奇，培養(yǎng)學生獨立獲取知識的愿望和能力.

設計效果：通過學生自己的觀察、比較、總結(jié)出二元一次方程組的解法，從中體會到解方程組中“消元”的本質(zhì).

第三環(huán)節(jié)：鞏固新知

內(nèi)容：

1.例：解下列方程組：

(1) (2)

（根據(jù)學生的情況可以選擇學生自己完成或教師指導完成）

(1)解：將②代入①，得：.

解得：.

把代入②，得：

所以原方程組的解為：

(2)由②，得：. ③

將③代入①，得：.

解得：.

將y=2代入③，得：

所以原方程組的解是

（⑵題需先進行恒等變形，教師要鼓勵學生通過自主探索與交流獲得求解，在求解過程中學生消元的具體方法可能不同，所以教學中不必強求解答過程的統(tǒng)一，但要提出如何選擇將哪個方程恒等變形、消去哪個未知數(shù)能使運算較為簡單.讓學生在解題中進行思考）

（教師在解完后要引導學生再次就解出的結(jié)果進行思考，判斷它們是否是原方程組的解.促使學生進一步理解方程組解的含義以及學會檢驗方程組解的方法.）

2.思考總結(jié)：（教師根據(jù)學生的實際情況進行生與生、師與生之間的相互補充與評價，并提出下面的問題）

⑴給這種解方程組的方法取個什么名字好？

⑵上面解方程組的基本思路是什么？

⑶主要步驟有哪些？

⑷我們觀察例題的解法會發(fā)現(xiàn)，我們在解方程組之前，首先要觀察方程組中未知數(shù)的特點，盡可能地選擇變形后的方程較簡單和代入后化簡比較容易的方程變形，這是關鍵的一步.你認為選擇未知數(shù)有何特點的方程變形好呢？

(由學生分組討論，教師深入?yún)⑴c到學生討論中，發(fā)現(xiàn)學生在自主探索、討論過程中的獨特想法，請學生小組的代表回答或?qū)W生舉手回答，其余學生可以補充，力求讓學生能夠回答出以下的要點，教師要板書要點，在學生回答時注意進行積極評價)

1.在解上面兩個二元一次方程組時，我們都是將其中的一個方程變形，即用含其中一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)，然后代入另一個未變形的方程，從而由“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”，達到消元的目的.我們將這種方法叫代入消元法.

2.解二元一次方程組的基本思路是消元，把“二元”變?yōu)椤耙辉?

3.解上述方程組的步驟：

第一步：在已知方程組的兩個方程中選擇一個適當?shù)姆匠?，將它的某個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來.

第二步：把此代數(shù)式代入沒有變形的另一個方程中，可得一個一元一次方程.

第三步：解這個一元一次方程，得到一個未知數(shù)的值.

第四步：把求得的未知數(shù)的值代回到原方程組中的任意一個方程或變形后的方程(一般代入變形后的方程)，求得另一個未知數(shù)的值.

第五步：把方程組的解表示出來.

第六步：檢驗(口算或筆算在草稿紙上進行)，即把求得的解代入每一個方程看是否成立.

4.用代入消元法解二元一次方程組時，盡量選取一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值是1的方程進行變形；若未知數(shù)的系數(shù)的絕對值都不是1，則選取系數(shù)的絕對值較小的方程變形.

目的：進一步熟悉解二元一次方程組的基本思路，熟練解二元一次方程組的基本步驟和過程，并能對二元一次方程組的解進行檢驗.

設計效果：通過本環(huán)節(jié)的學習，學生能夠獨立地運用代入消元法解二元一次方程組.

第四環(huán)節(jié)：練習提高

內(nèi)容：

1.教材隨堂練習（在隨堂練習中，可以鼓勵學生通過自主探索與交流，各個學生消元的具體方法可能不同，可以不必強調(diào)解答過程統(tǒng)一.可能會出現(xiàn)整體代換的思想，若有條件可以提出，為下一課做點鋪墊也可以）

2.補充練習：用代入消元法解下列方程組：

(1) (2) ⑶

（注：[2]題可以用整體代入法來解，把第二個方程變?yōu)椋賹⑺氲谝粋€方程，得；[3]題分數(shù)線有括號功能；[4]題如果有時間，學生學有余力可作為補充題目.）

目的：對本節(jié)知識進行鞏固練習.

設計效果：通過練習，鞏固和熟練了運用代入消元法解二元一次方程組的方法.