平行線的判定教案

1．了解并掌握平行線的判定公理和定理；(重點)

2．了解證明的一般步驟．(重點)

一、情境導入

我們知道，光線從空氣中進入水中會發(fā)生折射現(xiàn)象，光線從水中進入空氣中，同樣也會發(fā)生折射現(xiàn)象．如圖為光線從空氣中進入水中，再從水中進入空氣中的示意圖．由于折射率相同，因此有∠1＝∠4，∠2＝∠3，那么你能說明光線c與d平行嗎？

課件教案

二、合作探究

探究點一：平行線的判定

【類型一】平行線的判定公理

如圖，直線l1、l2、l3、l4兩兩相交，且∠1＝∠2＝∠3.求證：l1∥l2，l3∥l4.

解析：∠1和∠2是直線l1、l2被直線l3所截得的同位角，∠2和∠3是直線l3、l4被直線l2所截得的同位角，所以由∠1＝∠2可以判定l1∥l2，由∠2＝∠3可以判定l3∥l4.

證明：∵∠1＝∠2(已知)，∴l(xiāng)1∥l2(同位角相等，兩直線平行)．∵∠2＝∠3(已知)，∴l(xiāng)3∥l4(同位角相等，兩直線平行)．

方法總結：利用平行線的判定公理進行推理證明的關鍵是分清同位角是哪兩條直線被第三條直線所截構成的．

【類型二】平行線的判定定理1

如圖，已知AB，CD與直線EF分別相交于點B，C，且∠ABE＝∠DCF.求證：AB∥CD.

解析：由等角的補角相等可知∠ABC＝∠BCD.再由平行線的判定定理1即可得到結論．

證明：因為∠ABC＋∠ABE＝∠DCB＋∠DCF＝180(鄰補角的定義)，∠ABE＝∠DCF(已知)，所以∠ABC＝∠DCB(等角的補角相等)，所以AB∥CD(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)．

方法總結：要證明兩條直線平行，主要是指出圖形中兩條直線被第三條直線所截的角，觀察是否有同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補或由角的數(shù)量關系推得同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補．

【類型三】平行線的判定定理2

如圖，直線AE，CD相交于點O，如果∠A＝110，∠1＝70，就可以說明AB∥CD，這是為什么？

解析：由題意可知∠1＝∠AOD＝70，又因為∠A＝110，所以∠A＋∠AOD＝180，故AB∥CD.

解：因為∠1＝∠AOD(對頂角相等)，∠1＝70，所以∠AOD＝70.又因為∠A＝110，所以∠A＋∠AOD＝180(等式的性質)，所以AB∥CD(同旁內(nèi)角互補，兩直線平行)．

方法總結：(1)本題運用數(shù)形結合思想，平行線的判定是由角之間的數(shù)量關系到“形”的判定．要判定兩直線平行，可圍繞截線找同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角，若同位角相等、內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補，則兩直線平行．(2)若題中的結論能用同位角相等、內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補中的一個方法說明兩直線平行時，一般都要通過結合對頂角、互補角等知識來說明．

探究點二：平行線的判定公理、定理的綜合應用

如圖，已知DE，BF分別平分∠ADC和∠ABC，∠1＝∠2，∠ADC＝∠ABC，因此可推出圖中哪些線段平行？為什么？

解析：結合圖形以及已知條件，能證明DE∥BF，DF∥BE和AD∥BC.

解：DE∥BF，DF∥BE，AD∥BC.理由如下：

(1)DE∥BF.∵∠1＝∠2(已知)，∴DE∥BF(同位角相等，兩直線平行)．

(2)DF∥BE.∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC(已知)，∴∠3＝∠ADC，∠2＝∠ABC(角平分線定義)．∵∠ADC＝∠ABC(已知)，∴∠2＝∠3(等量代換)．又∵∠1＝∠2(已知)，∴∠1＝∠3(等量代換)，∴DF∥BE(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)．

(3)AD∥BC.由(2)知∠3＝∠1，又∵DE平分∠ADC(已知)，∴∠ADE＝∠3(角平分線定義)，∠ADE＝∠1(等量代換)．∴∠A＝180－∠ADE－∠1＝180－2∠ADE＝180－∠ADC＝180－∠ABC(三角形內(nèi)角和為180及等量代換)，即∠A＋∠ABC＝180，∴AD∥BC(同旁內(nèi)角互補，兩直線平行)．