充分條件與必要條件教學(xué)設(shè)計（1）

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

A.正確理解充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件的概念；

B.會判斷命題的充分條件、必要條件、充要條件．

C.通過學(xué)習(xí)，使學(xué)生明白對條件的判定應(yīng)該歸結(jié)為判斷命題的真假.

D.在觀察和思考中，在解題和證明題中，培養(yǎng)學(xué)生思維能力的嚴密性品質(zhì)．

1.數(shù)學(xué)抽象：充分條件、必要條件、充要條件的含義；

2.邏輯推理：判斷命題的充分條件、必要條件、充要條件；

3..直觀想象：對條件的判定應(yīng)該歸結(jié)為判斷命題的真假。

教學(xué)過程

落實核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、情景引入，溫故知新

情景1：如圖所示電路中(整個電路及燈泡一切正常),

記p:閉合開關(guān)A, q:燈泡亮。

請把這個電路圖改寫為“若p，則q”形式的命題并判斷真假。

【答案】真命題

情景2：記p:x >2, q:x >0 。

判斷命題“若x >2 ，則 x >0”的真假。

【答案】真命題

二、探索新知

探究一 充分條件與必要條件的含義

1.思考:下列“若P，則q”形式的命題中，哪些是真命題？哪些是假命題？

（1）若平行四邊形的對角線互相垂直，則這個平行四邊形是菱形；

（2）若兩個三角形的周長相等，則這兩個三角形全等；

（3）若

（4）若平面內(nèi)兩條直線a和b均垂直于直線l,則a//b。

【答案】（1）真 (2)假 (3) 假 （4）真

2、歸納新知

（1）充分條件、必要條件的含義

一般地,用p、q分別表示兩個命題,如果命題p成立,可以推出命題q也成立,即,那么p叫做q的充分條件, p叫做q的必要條件.

P足以導(dǎo)致q,也就是說條件p充分了；

q是p成立所必須具備的前提.

（2）

3.思考：下列“若P，則q”形式的命題中，p是q的什么條件？

（1）若平行四邊形的對角線互相垂直，則這個平行四邊形是菱形；

（2）若兩個三角形的周長相等，則這兩個三角形全等；

（3）若

（4）若平面內(nèi)兩條直線a和b均垂直于直線l,則a//b。

【解析】（1）、（4）中，p是q的充分條件，q是p的必要條件；（2）、（3）中， p不是q的充分條件，q不是p的必要條件

【解析】（1）這是一條平行四邊形的判定定理，， 所以p是q的充分條件；

(2)這是一條相似三角形的判定定理，，所以p是q的充分條件；

（3）這是一條菱形的性質(zhì)定理，,所以p是q的充分條件;

（4）由于, 所以p不是q的充分條件。

（5）由等式的性質(zhì)知，，所以p是q的充分條件。

（6）為無理數(shù)，但為有理數(shù)，，所以p不是q的充分條件。

4、思考：例1中命題（1）給出了“四邊形是平行四邊形”的一個充分條件，這樣的充分條件唯一嗎？若不唯一，那么你能給出不同的充分條件嗎？

【解析】四邊形的兩組對邊分別相等，四邊形的一組對邊平行且相等，四邊形的兩條對角線互相平分都是其充分條件。

結(jié)論：一般地，數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個充分條件。

解：（1）這是一條平行四邊形的性質(zhì)定理，，所以q是p的必要條件；

（2）這是一條相似三角形的性質(zhì)定理，，所以q是p的必要條件；

（3）如圖，四邊形ABCD的對角線互相垂直，但它不是菱形，所以q不是p的必要條件；

（4）顯然， 所以q不是p的必要條件。

（5）由于 所以q不是p的必要條件；

（6）為無理數(shù)，但1，不全是無理數(shù)，，所以q不是p的必要條件。

思考：例2中命題（1）給出了“四邊形是平行四邊形”的一個必要條件，這樣的必要條件唯一嗎？若不唯一，你能給出幾個其它的必要條件嗎？

【解析】四邊形的兩組對邊分別相等，四邊形的一組對邊平行且相等，四邊形的兩條對角線互相平分都是其必要條件。

【結(jié)論】一般地，數(shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個必要條件。

探究二 充要條件的含義

1.思考：下列“若P，則q”形式的命題中，哪些命題與它們的逆命題都是真命題？

（1）若兩個三角形的兩角和其中一角所對的邊分別相等，則這兩個三角形全等；

（2）若兩個三角形全等，則這兩個三角形的周長相等；

（3）若一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則。

（4）若是空集，則A與B均是空集。

【解析】命題(1)、（4）與它們的逆命題都是真命題。

2.定義：一般地，如果既有，又有，就記作：, 這時p既是q的充分條件，又是q的必要條件，則p是q的充分必要條件，簡稱充要條件。其中叫做等價符號。。

例3 下列各題中，哪些p是q的充要條件？

（1）p:四邊形是正方形，q:四邊形的對角線互相垂直且平分；

（2）P:兩個三角形相似，q:兩個三角形三邊成比例；

（3）p:xy>0,q:x>0,y>0;

(4) p:x=1是一元二次方程的一個根，q:。

解：（1）因為對角線互相垂直平分的四邊形不一定是正方形，所以，所以p不是q的充要條件。

（2）因為“若p，則q”是相似三角形的性質(zhì)定理，“若q，則p”是相似三角形的判定定理，所以它們均是真命題，即，所以P是q的充要條件。

（3）因為xy>0時，x>0,y>0不一定成立，所以 ，所以p不是q的充要條件。

（4）因為“若p，則q”與“若q，則p”均為真命題，即，

所以P是q的充要條件。

3.探究：通過上面的學(xué)習(xí)，你能給出“四邊形是平行四邊形”的充要條件嗎？

【解析】四邊形的兩組對角分別相等、四邊形的兩組對邊分別相等、四邊形的一組對邊平行且相等、四邊形的對角線互相平分、四邊形的兩組對邊分別平行都是它的充要條件。

例4 已知：⊙O的半徑為r，圓心O到直線L的距離為d。求證：d=r是直線l與⊙O相切的充要條件。

解析:設(shè)：，：直線與⊙O相切。要證是的充要條件，只需證明充分性（）和必要性（）即可。

解：教材P22

點評：在處理充分和必要條件問題時，首先應(yīng)分清條件和結(jié)論，然后才能進行推理和判斷。

通過初中所學(xué)及實例，讓學(xué)生感知、了解，進而概括出充分條件與必要條件的含義。提高學(xué)生用數(shù)學(xué)抽象的思維方式思考并解決問題的能力。

通過命題真假的判定，歸納出充分條件、必要條件的含義。

通過思考，進一步理解充分條件、必要條件的含義，教會學(xué)生解決和研究問題。

通過例題進一步鞏固充分條件的含義，提高學(xué)生解決問題的能力。

通過思考理解充分條件的不唯一。

通過例題進一步鞏固必要條件的含義，提高學(xué)生解決問題的能力。

通過思考理解必要條件的不唯一。

通過判斷命題及其逆命題的真假，概括歸納充要條件的定義，提高學(xué)生的抽象概括能力。

提高例題進一步鞏固充要條件。

通過思考理解充要條件的不唯一。

提高例題掌握充要條件的證明方法，提高學(xué)生解決問題的能力。去體驗知識方法。發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問題，應(yīng)用數(shù)學(xué)語言予以表達。