充分條件與必要條件教學(xué)設(shè)計（2）

本節(jié)內(nèi)容比較抽象，首先從命題出發(fā)，分清命題的條件和結(jié)論，看條件能否推出結(jié)論，從而判斷命題的真假；然后從命題出發(fā)結(jié)合實例引出充分條件、必要條件、充要條件這三個概念，再詳細講述概念，最后再應(yīng)用概念進行論證.

課程目標

1．理解充分條件、必要條件與充要條件的意義．

2．結(jié)合具體命題掌握判斷充分條件、必要條件、充要條件的方法．

3．能夠利用命題之間的關(guān)系判定充要關(guān)系或進行充要性的證明．

數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：充分條件、必要條件與充要條件含義的理解；

2.邏輯推理：通過命題的判定得出充分條件、必要條件的含義，通過定義或集合關(guān)系進行充分條件、必要條件、充要條件的判斷；

3.數(shù)學(xué)運算：利用充分、必要條件求參數(shù)的范圍，常見包含一元二次方程及其不等式和不等式組；

4.數(shù)據(jù)分析：充要條件的探求與證明：將原命題進行等價變形或轉(zhuǎn)換，直至獲得其成立的充要條件，探求的過程同時也是證明的過程；

5.數(shù)學(xué)建模：通過對充分條件、必要條件的概念的理解和運用，培養(yǎng)學(xué)生分析、判斷和歸納的邏輯思維能力。

重點：充分條件、必要條件、充要條件的概念．．

難點：能夠利用命題之間的關(guān)系判定充要關(guān)系．

教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。

教學(xué)工具：多媒體。

一、 問題導(dǎo)入：

寫出下列兩個命題的條件和結(jié)論，并判斷是真命題還是假命題？

（1）若x ＞ a2 + b2，則x ＞ 2ab, （2）若ab ＝ 0，則a ＝ 0.

學(xué)生容易得出結(jié)論；命題(1)為真命題，命題(２)為假命題．

提問：對于命題“若p，則q”，有時是真命題，有時是假命題．如何判斷其真假的？

結(jié)論：看p能不能推出q，如果p能推出q，則原命題是真命題，否則就是假命題．

要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進一步觀察.研探.

二、 預(yù)習(xí)課本，引入新課

閱讀課本17-22頁，思考并完成以下問題

1.什么是充分條件？

2. 什么是必要條件？

3. 什么是充要條件？

5. 什么是充分不必要條件？

6. 什么是必要不充分條件？

7. 什么是既不充分也不必要條件？

要求：學(xué)生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題，教師巡視指導(dǎo)，解答學(xué)生在自主學(xué)習(xí)中遇到的困惑過程。

三、新知探究，知識梳理

1．充分條件與必要條件

2. 充要條件

一般地，如果既有p?q，又有q?p，就記作p?q．此時，我們說p是q的充分必要條件，簡稱充要條件．顯然，如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件，即如果p?q，那么p與q互為充要條件．

概括地說，(1)如果p?q，那么p與q互為充要條件．

(2)若p?q，但qp，則稱p是q的充分不必要條件．

(3)若q?p，但pq，則稱p是q的必要不充分條件．

(4)若pq，且qp，則稱p是q的既不充分也不必要條件．

3.從集合角度看充分、必要條件

四、典例分析、舉一反三

題型一 充分條件、必要條件、充要條件的判斷

例1 指出下列各題中，p是q的什么條件(在“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”中選出一種作答)．

(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；

(2)對于實數(shù)x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；

(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；

(4)p：a＜b，q：＜1.

【答案】見解析

【解析】(1)在△ABC中，顯然有∠A>∠B?BC>AC，所以p是q的充分必要條件．

(2)因為x＝2且y＝6?x＋y＝8，即﹁q?﹁p，但﹁p?﹁q，所以p是q的充分不必要條件．

(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分條件．

(4)由于a＜b，當(dāng)b＜0時，＞1；

當(dāng)b＞0時，＜1，故若a＜b，不一定有＜1；

當(dāng)a＞0，b＞0，＜1時，可以推出a＜b；

當(dāng)a＜0，b＜0，＜1時，可以推出a＞b.

因此p是q的既不充分也不必要條件．

解題技巧：（充分條件與必要條件的判斷方法）

(1)定義法

若p?q，qp，則p是q的充分不必要條件；

若pq，q?p，則p是q的必要不充分條件；

若p?q，q?p，則p是q的充要條件；

若pq，qp，則p是q的既不充分也不必要條件．

(2)集合法

對于集合A＝{x|x滿足條件p}，B＝{x|x滿足條件q}，具體情況如下：

若A?B，則p是q的充分條件；

若A?B，則p是q的必要條件；

若A＝B，則p是q的充要條件；

若A?B，則p是q的充分不必要條件；

若B?A，則p是q的必要不充分條件．

(3)等價法

等價轉(zhuǎn)化法就是在判斷含有與“否”有關(guān)命題條件之間的充要關(guān)系時，根據(jù)原命題與其逆否命題的等價性轉(zhuǎn)化為形式較為簡單的兩個條件之間的關(guān)系進行判斷．

跟蹤訓(xùn)練一

1．設(shè)a，b是實數(shù)，則“a>b”是“a2>b2”的( )

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件

【答案】D

題型二 充要條件的探求與證明

例2 (1)“x2－4x<0”的一個充分不必要條件為( )

A．0

C．x>0 D．x<4

(2)已知x，y都是非零實數(shù)，且x>y，求證：<的充要條件是xy>0.

【答案】（1）B （2）見解析

【解析】(1)由x2－4x<0得0

(2)法一：充分性：由xy>0及x>y，得>，即<.

必要性：由<，得－<0，即<0.

因為x>y，所以y－x<0，所以xy>0.

所以<的充要條件是xy>0.

法二：

由條件x>y?y－x<0，故由<0?xy>0.

所以0，

即<的充要條件是xy>0.

解題技巧：(探求充要條件一般有兩種方法)

(1)探求A成立的充要條件時，先將A視為條件，并由A推導(dǎo)結(jié)論(設(shè)為B)，再證明B是A的充分條件，這樣就能說明A成立的充要條件是B，即從充分性和必要性兩方面說明．

(2)將原命題進行等價變形或轉(zhuǎn)換，直至獲得其成立的充要條件，探求的過程同時也是證明的過程，因為探求過程每一步都是等價的，所以不需要將充分性和必要性分開來說明．

跟蹤訓(xùn)練二

2．(1)不等式x(x－2)<0成立的一個必要不充分條件是( )

A．x∈(0,2) B．x∈[－1，＋∞)

C．x∈(0,1) D．x∈(1,3)

(2)求證：關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根是1的充要條件是a＋b＋c＝0.

【答案】（1）B （2）見解析

【解析】（1）由x(x－2)<0得0

（2）證明 假設(shè)p：方程ax2＋bx＋c＝0有一個根是1，q：a＋b＋c＝0.

①證明p?q，即證明必要性．

∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a12＋b1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.

②證明q?p，即證明充分性．

由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.

∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，

即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.

∴x＝1是方程的一個根．

故方程ax2＋bx＋c＝0有一個根是1的充要條件是a＋b＋c＝0.

題型三 利用充分、必要條件求參數(shù)的范圍

例3 已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且p是q的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍為____

【答案】{m|m≥9}(或[9，＋∞))

【解析】 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，

得1－m≤x≤1＋m(m>0)．

因為p是q的充分不必要條件，所以p?q且qp.

即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，

所以或解得m≥9.

變式． [變條件]【例3】本例中“p是q的充分不必要條件”改為“p是q的必要不充分條件”，其他條件不變，試求m的取值范圍．

【答案】見解析

【解析】由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)得1－m≤x≤1＋m(m>0)

因為p是q的必要不充分條件，所以q?p，且pq.

則{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}?{x|－2≤x≤10}

所以，解得0

即m的取值范圍是(0,3]．