單調(diào)性與最大（小）值教學設計（1）

課程目標

學科素養(yǎng)

A.理解增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性概念；

B.掌握增（減）函數(shù)的證明與判斷；

C.能利用單調(diào)性求函數(shù)的最大（小）值；

D.學會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)；

1.數(shù)學抽象：函數(shù)的單調(diào)性；

2.邏輯推理：證明函數(shù)的單調(diào)性；

3.數(shù)學運算：求函數(shù)的最大（?。┲?；

4.直觀想象：由函數(shù)的圖象研究函數(shù)的單調(diào)性；

5.數(shù)學模型：由實際問題構造合理的函數(shù)模型。

教學過程

教學設計意圖

核心素養(yǎng)目標

一、情景引入

1. 觀察這些函數(shù)圖像，你能說說他們分別反映了相應函數(shù)的哪些特征嗎？

2、它們分別反映了相應函數(shù)有什么變化規(guī)律？

二、探索新知

探究一 單調(diào)性

1、思考：如何利用函數(shù)解析式描述“隨著x的增大，相應的f(x)隨著增大？”

【答案】圖象在區(qū)間 上 逐漸上升，

在內(nèi)隨著x的增大，y也增大。

對于區(qū)間內(nèi)任意，當時，都有。這是，就說函數(shù)在區(qū)間 上是增函數(shù).

2、你能類似地描述在區(qū)間上是減函數(shù)嗎？

【答案】在區(qū)間內(nèi)任取，得到，

，當時，都有。這時，我們就說函數(shù)在區(qū)間上是這減函數(shù).

3、思考：函數(shù)，各有怎樣的單調(diào)性 ？

單調(diào)性概念：

對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值，當時，都有。就說函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù).

對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值，當時，都有。就說函數(shù)在區(qū)間D上是減函數(shù).

如果函數(shù) y =f(x)在區(qū)間D是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù) y =f(x)在區(qū)間D上具有(嚴格的)單調(diào)性,區(qū)間D叫做y =f(x)的 。

【答案】不一定，如

5、思考：函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，你能舉出在整個定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的函數(shù)例子嗎？你能舉出在定義域內(nèi)的某些區(qū)間單調(diào)遞增但在另一些區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)例子嗎？

【答案】y=2x+3,

牛刀小試：

1、如圖是定義在閉區(qū)間[-5,5]上的函數(shù)y=f(x)的圖象，根據(jù)圖象說出y=f(x)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一個單調(diào)區(qū)間上,f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)。

【答案】函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5],

其中f(x)在區(qū)間[-5,-2),[1,3)上是減函數(shù)，

在區(qū)間[-2,1),[3,5]上是增函數(shù)。

例1 根據(jù)定義，研究函數(shù) 的單調(diào)性。

【答案】解析見教材

結論：用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟:

1.取數(shù):任取x1，x2∈D，且x1

2.作差:f(x1)－f(x2)；

3.變形:通常是因式分解和配方；

4.定號:判斷差f(x1)－f(x2)的正負；

5.結論:指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性.

例2 物理學中的玻意耳定律告訴我們，對于一定量的氣體，當其體積V減小時，壓強p將增大,試用函數(shù)單調(diào)性證明之.

分析：按題意就是證明函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).

【答案】解析見教材

例3 根據(jù)定義證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增。

解析見教材

探究二 函數(shù)的最大（小）值

1、思考：觀察這兩個函數(shù)圖象，圖中有個最高點，設函數(shù)y=f(x)圖象上最高點的縱坐標為M，則對函數(shù)定義域內(nèi)任意自變量x，f(x)與M的大小關系如何？

【答案】f(x)< M

定義:一般地，設函數(shù)y= f (x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：

（1）對于任意的x ∈I，都有f (x) ≤M;

（2）存在，使得.

則M是函數(shù)y= f (x)的最大值（maximum value）

2、思考：能否仿照函數(shù)的最大值的定義，給出函數(shù)y=f(x)的最小值的定義呢？

一般地，設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果實數(shù)M滿足：

（1）對于任意的的x∈I，都有f(x) ≥M;

（2）存在，使得.

那么我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值（minimun value）.

例4 菊花煙花是最壯觀的煙花之一，制造時一般是期望在它達到最高點時爆裂。如果煙花距地面的高度h米與時間t秒之間的關系為

h(t)=-4.9t2+14.7t+18,那么煙花沖出后什么時候是它爆裂的最佳時刻?這時距地面的高度是多少(精確到1米)?

例5 已知函數(shù) ，求函數(shù)的最大值與最小.

【答案】解析見教材

分析：由函數(shù)的圖象可知道，此函數(shù)在[2，6]上遞減。所以在區(qū)間[2，6]的兩個端點上分別取得最大值與最小值.

解析見教材。

通過觀察函數(shù)的圖象，觀察函數(shù)的變化規(guī)律，引入本節(jié)新課。提高學生概括、推理的能力。

通過思考，觀察函數(shù)的圖象，學生歸納隨著x的變化，相應的f(x)也隨著變化，提高學生的解決問題、分析問題的能力。

通過思考，觀察函數(shù)的圖象，得到函數(shù)的單調(diào)性，進而歸納出函數(shù)單調(diào)性的定義。提高學生分析問題、概括能力。

通過思考，進一步鞏固函數(shù)單調(diào)性的定義。提高學生解決問題的能力。

通過練習，進一步鞏固單調(diào)性的定義，提高學生解決問題的能力。

通過例題，教會學生利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，提高學生解決問題能力、用分類討論解決問題的能力。

用單調(diào)性的定義解決物理學中的玻意耳定律，提高學生的學科交融能力。

觀察函數(shù)的圖象，回答問題，進而歸納出函數(shù)最大值的定義，提高學生的分析問題的能力。

讓學生仿照函數(shù)最大值的定義，類比得到函數(shù)最小值的定義，提高學生的類比推理能力。

通過實際問題讓學生明白怎樣求二次函數(shù)在整個定義域上的最值以及利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，提高學生解決問題的能力，進一步掌握單調(diào)性與最值的關系。

三、達標檢測

1．下列函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上不是增函數(shù)的是( )

A．y＝2x＋1 B．y＝x2＋1

C．y＝3－x D．y＝x2＋2x＋1

【解析】 函數(shù)y＝3－x在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)．

【答案】 C

2．函數(shù)f(x)＝－x2＋2x＋3的單調(diào)減區(qū)間是( )

A．(－∞，1) B．(1，＋∞)

C．(－∞，2) D．(2，＋∞)

【解析】 易知函數(shù)f(x)＝－x2＋2x＋3是圖象開口向下的二次函數(shù)，其對稱軸為x＝1，所以其單調(diào)減區(qū)間是(1，＋∞)．

【答案】 B

3．若函數(shù)y＝ax＋1在[1,2]上的最大值與最小值的差為2，則實數(shù)a的值是( )

A．2 B．－2

C．2或－2 D．0

【解析】 由題意，a≠0，當a>0時，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；當a<0時，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.綜上知a＝2.

【答案】 C

4．函數(shù)y＝x2－2x，x∈[0,3]的值域為( )

A．[0,3] B．[－1,0]

C．[－1，＋∞) D．[－1,3]

【解析】 ∵函數(shù)y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，∴當x＝1時，函數(shù)y取得最小值為－1，

當x＝3時，函數(shù)取得最大值為3，故函數(shù)的值域為[－1,3]，故選D.

【答案】 D

5．已知函數(shù)f(x)＝x2－x＋1.

(1)畫出函數(shù)的圖象；

(2)根據(jù)圖象求函數(shù)在區(qū)間[－1,1]上的最大值．

【解】 (1)圖象如圖所示：

(2)由圖象知，函數(shù)在[－1,1]上的最大值是3.

通過練習鞏固本節(jié)所學知識，提高學生解決問題的能力，感悟其中蘊含的數(shù)學思想，增強學生的應用意識。