單調(diào)性與最大（?。┲到虒W(xué)設(shè)計(jì)（2）

《函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲怠肥歉咧袛?shù)學(xué)新教材第一冊(cè)第三章第2節(jié)的內(nèi)容。在此之前，學(xué)生已學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念、定義域、值域及表示法，這為過(guò)渡到本節(jié)的學(xué)習(xí)起著鋪墊作用。學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象，在此基礎(chǔ)上學(xué)生對(duì)增減性有一個(gè)初步的感性認(rèn)識(shí)，所以本節(jié)課是學(xué)生數(shù)學(xué)思想的一次重要提高。函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)概念的延續(xù)和拓展，又是后續(xù)研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等內(nèi)容的基礎(chǔ)，對(duì)進(jìn)一步研究閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)最大值和最小值的求法和實(shí)際應(yīng)用，對(duì)解決各種數(shù)學(xué)問(wèn)題有著廣泛作用。

課程目標(biāo)
1、理解增函數(shù)、減函數(shù) 的概念及函數(shù)單調(diào)性的定義；
2、會(huì)根據(jù)單調(diào)定義證明函數(shù)單調(diào)性；
3、理解函數(shù)的最大（?。┲导捌鋷缀我饬x；
4、學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì).
數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)
1.數(shù)學(xué)抽象：用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示函數(shù)單調(diào)性和最值；
2.邏輯推理：證明函數(shù)單調(diào)性；
3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用單調(diào)性解決不等式；
4.數(shù)據(jù)分析：利用圖像求單調(diào)區(qū)間和最值；
5.數(shù)學(xué)建模：在具體問(wèn)題情境中運(yùn)用單調(diào)性和最值解決實(shí)際問(wèn)題。
重點(diǎn)：1、函數(shù)單調(diào)性的定義及單調(diào)性判斷和證明；
2、利用函數(shù)單調(diào)性或圖像求最值.
難點(diǎn)：根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性．
教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。
教學(xué)工具：多媒體。
情景導(dǎo)入
觀察下列各個(gè)函數(shù)的圖象，并探討下列變化規(guī)律：
①隨x的增大，y的值有什么變化？
②能否看出函數(shù)的最大、最小值？
要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.
預(yù)習(xí)課本，引入新課
閱讀課本76-80頁(yè)，思考并完成以下問(wèn)題
1.增函數(shù)、減函數(shù)的概念是什么？
2.如何表示函數(shù)的單調(diào)區(qū)間？
3.函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間有什么關(guān)系？
4.函數(shù)最大(小)值的定義是什么？
5.從函數(shù)的圖象可以看出函數(shù)最值的幾何意義是什么？
要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問(wèn)題。
新知探究
1．增函數(shù)、減函數(shù)定義
2、單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間
如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．
[點(diǎn)睛] 一個(gè)函數(shù)出現(xiàn)兩個(gè)或者兩個(gè)以上的單調(diào)區(qū)間時(shí)，不能用“∪”連接，而應(yīng)該用“,”連接．如函數(shù)y＝在(－∞，0),(0，＋∞)上單調(diào)遞減，卻不能表述為：函數(shù)y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上單調(diào)遞減．
3、函數(shù)的最大（?。┲?br /> 最大值最小值
條件一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：對(duì)于任意的x∈I，都有
f(x) f(x)>M
存在x0∈I，使得
結(jié)論稱M是函數(shù)y＝f(x)的最大值稱M是函數(shù)y＝f(x)的最小值
幾何
意義 f(x)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo) f(x)圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)
四、典例分析、舉一反三
題型一利用圖象確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
例1 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并指出其在單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù):
(1)y=3x-2; (2)y=-1/x.
【答案】見(jiàn)解析
【解析】(1)函數(shù)y=3x-2的單調(diào)區(qū)間為R,其在R上是增函數(shù).
(2)函數(shù)y=- 的單調(diào)區(qū)間為(-∞,0),(0,+∞),其在(-∞,0)及(0,+∞)上均為增函數(shù).
解題技巧：（利用圖象確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間）
1.函數(shù)單調(diào)性的幾何意義:在單調(diào)區(qū)間上,若函數(shù)的圖象“上升”,則函數(shù)為增區(qū)間;若函數(shù)的圖象“下
降”,則函數(shù)為減區(qū)間.因此借助于函數(shù)圖象來(lái)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是直觀且有效的一種方法.除這種方法外,求單調(diào)區(qū)間時(shí)還可以使用定義法,也就是由增函數(shù)、減函數(shù)的定義求單調(diào)區(qū)間.求出單調(diào)區(qū)間后,若單調(diào)區(qū)間不唯一,中間可用“,”隔開(kāi).
2.一次、二次函數(shù)及反比例函數(shù)的單調(diào)性:
(1)一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的單調(diào)性由系數(shù)k決定:當(dāng)k>0時(shí),該函數(shù)在R上是增函數(shù);當(dāng)k<0時(shí),該函數(shù)在R上是減函數(shù).
(2)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的單調(diào)性以對(duì)稱軸x=- 為分界線.
(3)反比例函數(shù)y=k/x(k≠0)的單調(diào)性如下表所示.
跟蹤訓(xùn)練一
已知x∈R,函數(shù)f(x)=x|x-2|,試畫(huà)出y=f(x)的圖象,并結(jié)合圖象寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
【答案】單調(diào)增區(qū)間為(-∞,1],[2,+∞);單調(diào)減區(qū)間為[1,2]
【解析】f(x)=x|x-2|={■(x(x-2),x≥2,@x(2-x),x<2,)┤圖象如下圖所示.

由圖象可知,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,1],[2,+∞);單調(diào)減區(qū)間為[1,2].
題型二利用函數(shù)的圖象求函數(shù)的最值
例2 已知函數(shù)y=-|x-1|+2,畫(huà)出函數(shù)的圖象,確定函數(shù)的最值情況,并寫(xiě)出值域.
【答案】最大值為2,沒(méi)有最小值.所以其值域?yàn)?-∞,2]
【解析】y=-|x-1|+2={■(3-x,x≥1,@x+1,x<1,)┤函數(shù)圖象如圖所示

由圖象知,函數(shù)y=-|x-1|+2的最大值為2,沒(méi)有最小值.所以其值域?yàn)?-∞,2]
解題技巧：(用圖象法求最值的3個(gè)步驟)
跟蹤訓(xùn)練二
1. 已知函數(shù)f(x)={■(1/x ",0(1)畫(huà)出f(x)的圖象;
(2)利用圖象寫(xiě)出該函數(shù)的最大值和最小值.
【答案】(1)見(jiàn)解析（2）最小值為f(1)=1,無(wú)最大值
【解析】(1)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.
(2)由圖象可知f(x)的最小值為f(1)=1,無(wú)最大值.
題型三證明函數(shù)的單調(diào)性
例3 求證:函數(shù)f(x)=x+ 在區(qū)間(0,1)內(nèi)為減函數(shù).
【答案】見(jiàn)解析
【解析】證明:設(shè)x1,x2是區(qū)間(0,1)內(nèi)的任意兩個(gè)實(shí)數(shù),且x1則f(x1)-f(x2)=(x_1+1/x_1 )-(x_2+1/x_2 )
=(x1-x2)+(x_2 "-" x_1)/(x_1 x_2 )=(x1-x2)(1"-" 1/(x_1 x_2 ))
=("(" x_1 "-" x_2 ")(" x_1 x_2 "-" 1")" )/(x_1 x_2 ).
∵00,x1x2-1<0,x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
故函數(shù)f(x)=x+1/x 在區(qū)間(0,1)內(nèi)為減函數(shù).
解題技巧：（利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的4個(gè)步驟）
特別提醒作差變形的常用技巧:
(1)因式分解.當(dāng)原函數(shù)是多項(xiàng)式函數(shù)時(shí),作差后的變形通常進(jìn)行因式分解.如f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1).
(2)通分.當(dāng)原函數(shù)是分式函數(shù)時(shí),作差后往往進(jìn)行通分,然后對(duì)分子進(jìn)行因式分解.如本例.
(3)配方.當(dāng)所得的差式是含有x1,x2的二次三項(xiàng)式時(shí),可以考慮配方,便于判斷符號(hào).
(4)分子有理化.當(dāng)原函數(shù)是根式函數(shù)時(shí),作差后往往考慮分子有理化.
跟蹤訓(xùn)練三
1.求證：函數(shù)f(x)＝在(0，＋∞)上是減函數(shù)，在(－∞，0)上是增函數(shù)．
【答案】見(jiàn)解析
【解析】對(duì)于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1－f(x2)＝1x21－1x22＝x22－x21x21x22＝?x2－x1??x2＋x1?x21x22.
∵x1＜x2＜0，
∴x2－x1＞0，x1＋x2＜0，x21x22＞0.
∴f (x1)－f (x2)＜0，即f (x1)＜f (x2)．
∴函數(shù)f (x)＝1x2在(－∞，0)上是增函數(shù)．
對(duì)于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，有
f (x1)－f(x2)＝?x2－x1??x2＋x1?x21x22.
∵0＜x1＜x2，∴x2－x1＞0，x2＋x1＞0，x21x22＞0.
∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．
∴函數(shù)f(x)＝1x2在(0，＋∞)上是減函數(shù)．
題型四利用函數(shù)的單調(diào)性求最值
例4 已知函數(shù)f(x)=x+ 4/x.
(1)判斷f(x)在區(qū)間[1,2]上的單調(diào)性;
(2)根據(jù)f(x)的單調(diào)性求出f(x)在區(qū)間[1,2]上的最值.
【答案】見(jiàn)解析
【解析】(1)設(shè)x1,x2是區(qū)間[1,2]上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù),且x1 ∵x10,1即x1x2-4<0.
∴f(x1)>f(x2),即f(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù).
(2)由(1)知f(x)的最小值為f(2),f(2)=2+ =4;f(x)的最大值為f(1).
∵f(1)=1+4=5,∴f(x)的最小值為4,最大值為5.
解題方法（單調(diào)性與最值的關(guān)系）
1.利用單調(diào)性求函數(shù)最值的一般步驟:
(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性;(2)利用單調(diào)性寫(xiě)出最值.
2.函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系:
(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是增(減)函數(shù),則f(x)在區(qū)間[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是增(減)函數(shù),在區(qū)間(b,c]上是減(增)函數(shù),則f(x)在區(qū)間[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)與f(c)中較小(大)的一個(gè).
(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上一定有最值.
(4)求最值時(shí)一定要注意所給區(qū)間的開(kāi)閉,若是開(kāi)區(qū)間,則不一定有最大(小)值.
跟蹤訓(xùn)練四
1.已知函數(shù)f(x)＝6/(x-1)(x∈[2,6]，)求函數(shù)的最大值和最小值．
【答案】見(jiàn)解析
【解析】設(shè)x1，x2是區(qū)間[2,6]上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝2x1－1－2x2－1＝2[?x2－1?－?x1－1?]?x1－1??x2－1?＝2?x2－x1??x1－1??x2－1?.
由2≤x1＜x2≤6，得x2－x1＞0，(x1－1)(x2－1)＞0，于是f(x1)－f(x2) ＞0，即f(x1)＞f(x2)．所以函數(shù)f(x)＝2x－1是區(qū)間[2,6]上的減函數(shù)．
因此，函數(shù)f(x)＝2x－1在區(qū)間[2,6]的兩個(gè)端點(diǎn)處分別取得最大值與最小值，即在x＝2時(shí)取得最大值，最大值是2，在x＝6時(shí)取得最小值，最小值是0.4.
題型五函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
例5已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù),試比較f(a2-a+1)與f 的大小.
【答案】f(3/4)≥f(a2-a+1).
【解析】∵a2-a+1=(a-1/2)^2+3/4≥3/4,
∴3/4與a2-a+1都是區(qū)間(0,+∞)上的值.
∵f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù),
∴f(3/4)≥f(a2-a+1).
解題方法（抽象函數(shù)單調(diào)性求參）
1.利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較函數(shù)值或自變量的大小.在利用函數(shù)的單調(diào)性解決比較函數(shù)值大小的問(wèn)題時(shí),要注意將對(duì)應(yīng)的自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上.
2.利用函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)值的不等式就是利用函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性,去掉對(duì)應(yīng)關(guān)系“f”,轉(zhuǎn)化為自變量的不等式,此時(shí)一定要注意自變量的限制條件,以防出錯(cuò).
跟蹤訓(xùn)練五
1.已知g(x)是定義在[-2,2]上的增函數(shù),且g(t)>g(1-3t),求t的取值范圍.
【答案】t的取值范圍為(1/4 ",1" ].
【解析】∵g(x)是[-2,2]上的增函數(shù),且g(t)>g(1-3t),
∴{■("-2≤t≤2," @"-2≤1-3t≤2," @t>1-3t,)┤
即{■("-2≤t≤2," @"-" 1/3≤t≤1,@t>1/4 "," )┤
∴1/4題型六單調(diào)性最值的實(shí)際應(yīng)用
例6 “菊花”煙花是最壯觀的煙花之一.制造時(shí)一般是期望在它達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆裂.如果煙花距地面的高度h（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系為h（t）=-4.9t^2+14.7t+18，那么煙花沖出后什么時(shí)候是它爆裂的最佳時(shí)刻？這時(shí)距地面的高度是多少（精確到1m）？
【答案】t的取值范圍為(1/4 ",1" ].
【解析】畫(huà)出函數(shù)h（t）=-4.9 +14.7t+18的圖象（圖3.2-4）.顯然，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)就是煙花
上升的最高點(diǎn)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是煙花爆裂的最佳時(shí)刻，縱坐標(biāo)就是這時(shí)距地面的高度。
解題方法（解函數(shù)應(yīng)用題的一般程序）
(1)審題.弄清題意,分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系.

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