不同增長函數(shù)的差異教學(xué)設(shè)計（1）

本節(jié)課是新版教材人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修1第四章第4.4.3節(jié)《不同增長函數(shù)的差異》是在學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)之后的對函數(shù)學(xué)習(xí)的一次梳理和總結(jié)。本節(jié)提出函數(shù)增長快慢的問題，通過函數(shù)圖像及三個函數(shù)的性質(zhì)，完成函數(shù)增長快慢的認(rèn)識。既是對三種函數(shù)學(xué)習(xí)的總結(jié)，也為后續(xù)導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)做了鋪墊。培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)直觀、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

課件教案

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù) (一次函數(shù)) 的增長差異.

2、經(jīng)過探究對函數(shù)的圖像觀察，理解對數(shù)增長、直線上升、指數(shù)爆炸。培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題和歸納問題的思維能力以及數(shù)學(xué)交流能力；

3、在認(rèn)識函數(shù)增長差異的過程中，使學(xué)生學(xué)會認(rèn)識事物的特殊性與一般性之間的關(guān)系，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識，探索數(shù)學(xué)。

a.數(shù)學(xué)抽象：函數(shù)增長快慢的認(rèn)識；

b.邏輯推理：由特殊到一般的推理；

c.數(shù)學(xué)運算：運用指數(shù)和對數(shù)運算分析問題；

d.直觀想象：指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖像；

e.數(shù)學(xué)建模：運用函數(shù)增長差異解決實際問題；

教學(xué)重點：函數(shù)增長快慢比較的常用方法；

教學(xué)難點：了解影響函數(shù)增長快慢的因素；

多媒體

教學(xué)過程

設(shè)計意圖

核心教學(xué)素養(yǎng)目標(biāo)

（一）、溫故知新

三種函數(shù)模型的性質(zhì)

	y＝ax(a>1)	y＝logax(a>1)	y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增減性	增函數(shù)	增函數(shù)	增函數(shù)
圖象的變化趨勢	隨x增大逐漸近似與y軸;平行	隨x增大逐漸近似與x軸x平行	隨n值而不同
增長速度	①y＝ax(a>1)：隨著x的增大，y增長速度越來越快，會遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xn(n>0)的增長速度，y＝logax(a>1)的增長速度越來越慢 ②存在一個x0，當(dāng)x>x0時，有ax>xn>logax

（二）問題探究

我們看到，一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的增長方式存在很大差異．事實上，這種差異正是不同類型現(xiàn)實問題具有不同增長規(guī)律的反映．因此，如果把握了不同函數(shù)增長方式的差異，那么就可以根據(jù)現(xiàn)實問題的增長情況，選擇合適的函數(shù)模型刻畫其變化規(guī)律．下面就來研究一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)增長方式的差異．

提出問題

雖然它們都是增函數(shù)，但增長方式存在很大差異，這種差異正是不同類型現(xiàn)實問題具有不同增長規(guī)律的反映.

我們?nèi)匀徊捎糜商厥獾揭话?，由具體到抽象的研究方法.

下面就來研究一次函數(shù)f(x)=kx+b，k>0 ，指數(shù)函數(shù)g(x)=ax(a>1) ，對數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)增長方式的差異.

問題探究

以函數(shù)y=2x與y=2x為例研究指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)增長方式的差異.

分析：(1)在區(qū)間(-∞,0)上，指數(shù)函數(shù)y=2x值恒大于0，一次函數(shù)y=2x值恒小于0，所以我們重點研究在區(qū)間(0,+∞)上它們的增長差異.

(2)借助信息技術(shù)，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)列表、描點作圖如下：

x	y=2x	y=2x
0	1	0
0.5	1.414	1
1	2	2
1.5	2.828	3
2	4	4
2.5	5.657	5
3	8	6

(3)觀察兩個函數(shù)圖象及其增長方式：

結(jié)論1：函數(shù)y=2x與y=2x有兩個交點(1,2)和(2,4)

結(jié)論2：在區(qū)間(0,1)上，函數(shù)y=2x的圖象位于y=2x之上

結(jié)論3：在區(qū)間(1,2)上，函數(shù)y=2x的圖象位于y=2x之下

結(jié)論4：在區(qū)間(2,3)上，函數(shù)y=2x的圖象位于y=2x之上

綜上：雖然函數(shù)y=2x與y=2x都是增函數(shù)，但是它們的增長速度不同，函數(shù)y=2x的增長速度不變，但是y=2x的增長速度改變，先慢后快.

請大家想象一下，取更大的x值，在更大的范圍內(nèi)兩個函數(shù)圖象的關(guān)系？

思考：隨著自變量取值越來越大，函數(shù)y=2x的圖象幾乎與x軸垂直，函數(shù)值快速增長，函數(shù)y=2x的增長速度保持不變，和y=2x的增長相比幾乎微不足道.

歸納總結(jié)

總結(jié)一：函數(shù)y=2x與y=2x在[0,+∞)上增長快慢的不同如下：

雖然函數(shù)y=2x與y=2x在[0,+∞)上都是單調(diào)遞增，但它們的增長速度不同.

隨著x的增大，y=2x的增長速度越來越快，會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于 y=2x的增長速度.

盡管在x的一定范圍內(nèi)，2x<2x，但由于y=2x的增長最終會快于y=2x的增長，因此，總會存在一個x0，當(dāng)x>x0時，恒有2x>2x.

總結(jié)二：一般地指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)與一次函數(shù)y=kx(k>0)的增長都與上述類似.

即使k值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于a值，指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)雖然有一段區(qū)間會小于y=kx(k>0)，但總會存在一個x0，當(dāng)x>x0時， y=ax(a>1)的增長速度會大大超過y=kx(k>0)的增長速度.

跟蹤訓(xùn)練

1．四個變量y1，y2，y3，y4隨變量x變化的數(shù)據(jù)如表：

x	1	5	10	15	20	25	30
y1	2	26	101	226	401	626	901
y2	2	32	1 024	37 768	1.05106	3.36107	1.07109
y3	2	10	20	30	40	50	60
y4	2	4.322	5.322	5.907	6.322	6.644	6.907

關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)變化的變量是________.

答案：y2

[以爆炸式增長的變量呈指數(shù)函數(shù)變化．從表格中可以看出，四個變量y1，y2，y3，y4均是從2開始變化，且都是越來越大，但是增長速度不同，其中變量y2的增長速度最快，畫出它們的圖象(圖略)，可知變量y2關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化．故填y2.]

分析：(1)在區(qū)間(-∞,0)上，對數(shù)函數(shù)y=lgx沒意義，一次函數(shù)值恒小于0，

所以研究在區(qū)間(0,+∞)上它們的增長差異.

(2)借助信息技術(shù)，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)列表、描點作圖如下：

x	y=lgx
0	不存在	0
10	1	1
20	1.301	2
30	1.477	3
40	1.602	4
50	1.699	5
60	1.778	6

以函數(shù)y=lgx與為例研究對數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)增長方式的差異.

(3)觀察兩個函數(shù)圖象及其增長方式：

總結(jié)一：雖然函數(shù)y=lgx與在(0,+∞)上都是單調(diào)遞增，但它們的增長速度存在明顯差異.在(0,+∞)上增長速度不變，y=lgx在(0,+∞)上的增長速度在變化.

隨著x的增大，的圖象離x軸越來越遠(yuǎn)，而函數(shù)y=lgx的圖象越來越平緩，就像與x軸平行一樣.

例如：lg10=1，lg100=2，lg1000=3，lg10000=4；

這表明，當(dāng)x>10，即y>1，y=lgx比相比增長得就很慢了.

思考：將y=lgx放大1000倍，將函數(shù)y=1000lgx與比較，仍有上面規(guī)律嗎？先想象一下，仍然有.

總結(jié)二：一般地，雖然對數(shù)函數(shù) 與一次函數(shù)y=kx(k>0)在(0,上都是單調(diào)遞增，但它們的增長速度不同.隨著x的增大，一次函數(shù)y=kx(k>0)保持固定的增長速度，而對數(shù)函數(shù)的增長速度越來越慢.不論a值比k值大多少，在一定范圍內(nèi)，可能會大于kx，但由于的增長會慢于kx的增長，因此總存在一個x0，當(dāng)x>x0時，恒有．

跟蹤訓(xùn)練

1．函數(shù)f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的圖象如圖所示．

(1)試根據(jù)函數(shù)的增長差異指出曲線C1，C2分別對應(yīng)的函數(shù)；

(2)比較兩函數(shù)的增長差異(以兩圖象交點為分界點，對f(x)，g(x)的

大小進行比較).

[解] (1)C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝0.3x－1，C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝lg x.

(2)當(dāng)xf(x)；當(dāng)x1g(x)；

當(dāng)x>x2時，g(x)>f(x)；當(dāng)x＝x1或x＝x2時，f(x)＝g(x)．

溫故知新，通過對上節(jié)指數(shù)、對數(shù)和冪函數(shù)問題的回顧，提出新的問題，提出研究函數(shù)增長差異的問題及研究方法。培養(yǎng)和發(fā)展邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。