不同函數(shù)增長的差異教學設計（2）

本節(jié)課在已學冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的增長方式存在很大差異.事實上，這種差異正是不同類型現(xiàn)實問題具有不同增長規(guī)律的反應.而本節(jié)課重在研究不同函數(shù)增長的差異.

課程目標

1.掌握常見增長函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì),并體會其增長的快慢.

2.理解直線上升、對數(shù)增長、指數(shù)爆炸的含義以及三種函數(shù)模型的性質(zhì)的比較,培養(yǎng)數(shù)學建模和數(shù)學運算等核心素養(yǎng).

數(shù)學學科素養(yǎng)

1.數(shù)學抽象：常見增長函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)；

2.邏輯推理：三種函數(shù)的增長速度比較；

3.數(shù)學運算：由函數(shù)圖像求函數(shù)解析式；

4.數(shù)據(jù)分析：由圖象判斷指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)；

5.數(shù)學建模：通過由抽象到具體，由具體到一般的數(shù)形結(jié)合思想總結(jié)函數(shù)性質(zhì).

重點：比較函數(shù)值得大??；

難點：幾種增長函數(shù)模型的應用．

教學方法：以學生為主體，采用誘思探究式教學，精講多練。

教學工具：多媒體。

一、 情景導入

請學生用畫圖像，觀察兩個函數(shù)圖像,探索它們在區(qū)間[0，+∞）上的增長差異，你能描述一下指數(shù)函數(shù)增長的特點嗎？

要求：讓學生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.

二、預習課本，引入新課

閱讀課本136-138頁，思考并完成以下問題

1.三種函數(shù)模型的性質(zhì)？

2.三種函數(shù)的增長速度比較？

要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。

三、 新知探究

1.三種函數(shù)模型的性質(zhì)

2.三種函數(shù)的增長速度比較

(1)在區(qū)間(0,+∞)上,函數(shù)y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函數(shù),但增長速度不同.

(2)在區(qū)間(0,+∞)上隨著x的增大,函數(shù)y=ax(a>1)的增長速度越來越快,會超過并遠遠大于y=xn(n>0)的增長速度,而函數(shù)y=logax(a>1)的增長速度則會越來越慢.

(3)存在一個x0,使得當x>x0時,有l(wèi)ogax

四、典例分析、舉一反三

題型一 比較函數(shù)增長的差異

例1函數(shù)f(x)=2x和g(x)=x3的圖象如圖所示.設兩函數(shù)的圖象交于點A(x1,y1),B(x2,y2),且x1

(1)指出圖中曲線C1,C2分別對應的函數(shù);

(2)結(jié)合函數(shù)圖象,判斷f(6),g(6),f(2019),g(2 019)的大小.

【答案】(1)C1對應的函數(shù)為g(x)=x3,C2對應的函數(shù)為f(x)=2x.

（2）f(2 019)>g(2 019)>g(6)>f(6).

【解析】(1)C1對應的函數(shù)為g(x)=x3,C2對應的函數(shù)為f(x)=2x.

(2)因為f(1)>g(1),f(2)g(10),所以1

所以x1<6x2,從圖象上可以看出,當x1

當x>x2時,f(x)>g(x),所以f(2 019)>g(2 019).

因為g(2 019)>g(6),所以f(2 019)>g(2019)>g(6)>f(6).

變式1.在本例(1)中,若將“函數(shù)f(x)=2x”改為“f(x)=3x”,又如何求解第(1)題呢?

【答案】C1對應的函數(shù)為g(x)=x3,C2對應的函數(shù)為f(x)=3x.

【解析】由圖象的變化趨勢以及指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長速度可知:C1對應的函數(shù)為g(x)=x3,C2對應的函數(shù)為f(x)=3x.

變式2.本例條件不變,(2)題改為:試結(jié)合圖象,判斷f(8),g(8),f(2019),g(2 019)的大小.

【答案】f(2 019)>g(2 019)>g(8)>f(8).

【解析】因為f(1)>g(1),f(2)g(10),所以1x2,從圖象上可以看出,當x1x2時,f(x)>g(x),所以f(2 019)>g(2 019).因為g(2 019)>g(8),所以f(2 019)>g(2 019)>g(8)>f(8).

解題技巧：（由圖象判斷指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的方法）

根據(jù)圖象判斷增長型的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)時,通常是觀察函數(shù)圖象上升得快慢,即隨著自變量的增長,圖象最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù),圖象趨于平緩的函數(shù)是對數(shù)函數(shù).

跟蹤訓練一

1.當a>1時,有下列結(jié)論:

①指數(shù)函數(shù)y=ax,當a越大時,其函數(shù)值的增長越快;②指數(shù)函數(shù)y=ax,當a越小時,其函數(shù)值的增長越快;③對數(shù)函數(shù)y=logax,當a越大時,其函數(shù)值的增長越快;④對數(shù)函數(shù)y=logax,當a越小時,其函數(shù)值的增長越快.其中正確的結(jié)論是( )

A.①③ B.①④ C.②③ D.②④

【答案】B

2.已知函數(shù)y1=2x,y2=x2,y3=log2x,當2

A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y1>y3>y2 D.y2>y3>y1

【答案】B

【解析】在同一平面直角坐標系中畫出這三個函數(shù)的圖象(圖略),在區(qū)間(2,4)內(nèi),從上到下圖象依次對應的函數(shù)為y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故y2>y1>y3.

題型二 體會指數(shù)函數(shù)的增長速度

例2甲、乙、丙三個公司分別到慈善總會捐款給某災區(qū),捐款方式如下:甲公司:在10天內(nèi),每天捐款5萬元給災區(qū);乙公司:在10天內(nèi),第1天捐款1萬元,以后每天比前一天多捐款1萬元;丙公司:在10天內(nèi),第1天捐款0.1萬元,以后每天捐款都比前一天翻一番.

你覺得哪個公司捐款最多?

【答案】丙公司捐款最多,為102.3萬元.

【解析】三個公司在10天內(nèi)捐款情況如下表所示.

解題技巧：（指數(shù)函數(shù)的增長速度的實際應用）

解答此類問題的關鍵是明確“指數(shù)爆炸”“對數(shù)增長”等函數(shù)增長差異,需注意冪函數(shù)的增長是介于兩者之間的.

跟蹤訓練二

1.某民營企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場調(diào)查和預測,A產(chǎn)品的利潤與投資的函數(shù)模型為y=k1x,B產(chǎn)品的利潤與投資的函數(shù)模型為y=k2xα(利潤和投資的單位為百萬元),其關系分別如圖①,圖②所示.

(1)分別求出A,B兩種產(chǎn)品的利潤與投資的函數(shù)關系式;