不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異教學(xué)設(shè)計(jì)（2）

本節(jié)課在已學(xué)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)方式存在很大差異.事實(shí)上，這種差異正是不同類(lèi)型現(xiàn)實(shí)問(wèn)題具有不同增長(zhǎng)規(guī)律的反應(yīng).而本節(jié)課重在研究不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異.

課程目標(biāo)

1.掌握常見(jiàn)增長(zhǎng)函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì),并體會(huì)其增長(zhǎng)的快慢.

2.理解直線上升、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)、指數(shù)爆炸的含義以及三種函數(shù)模型的性質(zhì)的比較,培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：常見(jiàn)增長(zhǎng)函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)；

2.邏輯推理：三種函數(shù)的增長(zhǎng)速度比較；

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：由函數(shù)圖像求函數(shù)解析式；

4.數(shù)據(jù)分析：由圖象判斷指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)；

5.數(shù)學(xué)建模：通過(guò)由抽象到具體，由具體到一般的數(shù)形結(jié)合思想總結(jié)函數(shù)性質(zhì).

重點(diǎn)：比較函數(shù)值得大??；

難點(diǎn)：幾種增長(zhǎng)函數(shù)模型的應(yīng)用．

教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。

教學(xué)工具：多媒體。

一、 情景導(dǎo)入

請(qǐng)學(xué)生用畫(huà)圖像，觀察兩個(gè)函數(shù)圖像,探索它們?cè)趨^(qū)間[0，+∞）上的增長(zhǎng)差異，你能描述一下指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)的特點(diǎn)嗎？

要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.

二、預(yù)習(xí)課本，引入新課

閱讀課本136-138頁(yè)，思考并完成以下問(wèn)題

1.三種函數(shù)模型的性質(zhì)？

2.三種函數(shù)的增長(zhǎng)速度比較？

要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問(wèn)題。

三、 新知探究

1.三種函數(shù)模型的性質(zhì)

2.三種函數(shù)的增長(zhǎng)速度比較

(1)在區(qū)間(0,+∞)上,函數(shù)y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函數(shù),但增長(zhǎng)速度不同.

(2)在區(qū)間(0,+∞)上隨著x的增大,函數(shù)y=ax(a>1)的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快,會(huì)超過(guò)并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=xn(n>0)的增長(zhǎng)速度,而函數(shù)y=logax(a>1)的增長(zhǎng)速度則會(huì)越來(lái)越慢.

(3)存在一個(gè)x0,使得當(dāng)x>x0時(shí),有l(wèi)ogax

四、典例分析、舉一反三

題型一 比較函數(shù)增長(zhǎng)的差異

例1函數(shù)f(x)=2x和g(x)=x3的圖象如圖所示.設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),且x1

(1)指出圖中曲線C1,C2分別對(duì)應(yīng)的函數(shù);

(2)結(jié)合函數(shù)圖象,判斷f(6),g(6),f(2019),g(2 019)的大小.

【答案】(1)C1對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)=x3,C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f(x)=2x.

（2）f(2 019)>g(2 019)>g(6)>f(6).

【解析】(1)C1對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)=x3,C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f(x)=2x.

(2)因?yàn)閒(1)>g(1),f(2)g(10),所以1

所以x1<6x2,從圖象上可以看出,當(dāng)x1

當(dāng)x>x2時(shí),f(x)>g(x),所以f(2 019)>g(2 019).

因?yàn)間(2 019)>g(6),所以f(2 019)>g(2019)>g(6)>f(6).

變式1.在本例(1)中,若將“函數(shù)f(x)=2x”改為“f(x)=3x”,又如何求解第(1)題呢?

【答案】C1對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)=x3,C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f(x)=3x.

【解析】由圖象的變化趨勢(shì)以及指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長(zhǎng)速度可知:C1對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)=x3,C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f(x)=3x.

變式2.本例條件不變,(2)題改為:試結(jié)合圖象,判斷f(8),g(8),f(2019),g(2 019)的大小.

【答案】f(2 019)>g(2 019)>g(8)>f(8).

【解析】因?yàn)閒(1)>g(1),f(2)g(10),所以1x2,從圖象上可以看出,當(dāng)x1x2時(shí),f(x)>g(x),所以f(2 019)>g(2 019).因?yàn)間(2 019)>g(8),所以f(2 019)>g(2 019)>g(8)>f(8).

解題技巧：（由圖象判斷指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的方法）

根據(jù)圖象判斷增長(zhǎng)型的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)時(shí),通常是觀察函數(shù)圖象上升得快慢,即隨著自變量的增長(zhǎng),圖象最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù),圖象趨于平緩的函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù).

跟蹤訓(xùn)練一

1.當(dāng)a>1時(shí),有下列結(jié)論:

①指數(shù)函數(shù)y=ax,當(dāng)a越大時(shí),其函數(shù)值的增長(zhǎng)越快;②指數(shù)函數(shù)y=ax,當(dāng)a越小時(shí),其函數(shù)值的增長(zhǎng)越快;③對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax,當(dāng)a越大時(shí),其函數(shù)值的增長(zhǎng)越快;④對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax,當(dāng)a越小時(shí),其函數(shù)值的增長(zhǎng)越快.其中正確的結(jié)論是( )

A.①③ B.①④ C.②③ D.②④

【答案】B

2.已知函數(shù)y1=2x,y2=x2,y3=log2x,當(dāng)2

A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y1>y3>y2 D.y2>y3>y1

【答案】B

【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出這三個(gè)函數(shù)的圖象(圖略),在區(qū)間(2,4)內(nèi),從上到下圖象依次對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故y2>y1>y3.

題型二 體會(huì)指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度

例2甲、乙、丙三個(gè)公司分別到慈善總會(huì)捐款給某災(zāi)區(qū),捐款方式如下:甲公司:在10天內(nèi),每天捐款5萬(wàn)元給災(zāi)區(qū);乙公司:在10天內(nèi),第1天捐款1萬(wàn)元,以后每天比前一天多捐款1萬(wàn)元;丙公司:在10天內(nèi),第1天捐款0.1萬(wàn)元,以后每天捐款都比前一天翻一番.

你覺(jué)得哪個(gè)公司捐款最多?

【答案】丙公司捐款最多,為102.3萬(wàn)元.

【解析】三個(gè)公司在10天內(nèi)捐款情況如下表所示.

解題技巧：（指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度的實(shí)際應(yīng)用）

解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是明確“指數(shù)爆炸”“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”等函數(shù)增長(zhǎng)差異,需注意冪函數(shù)的增長(zhǎng)是介于兩者之間的.

跟蹤訓(xùn)練二

1.某民營(yíng)企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查和預(yù)測(cè),A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的函數(shù)模型為y=k1x,B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的函數(shù)模型為y=k2xα(利潤(rùn)和投資的單位為百萬(wàn)元),其關(guān)系分別如圖①,圖②所示.

(1)分別求出A,B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的函數(shù)關(guān)系式;