二次函數(shù)與一元二次方程教案

1．經(jīng)歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程，體會方程與函數(shù)之間的聯(lián)系；(重點)

2．理解二次函數(shù)與x 軸交點的個數(shù)與一元二次方程的根的關(guān)系，理解何時方程有兩個不等的實根、兩個相等的實根和沒有實根；(重點)

3．通過觀察二次函數(shù)與x 軸交點的個數(shù)，討論一元二次方程的根的情況，進一步培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合思想．(難點)

一、情境導入

一個涵洞成拋物線形，它的截面如圖所示．現(xiàn)測得，當水面寬AB＝1.6m時，涵洞頂點與水面的距離OC＝2.4m.當水位上升一定高度到達點F時，這時，離水面距離CF＝1.5m，則涵洞寬ED是多少？是否會超過1m?

根據(jù)已知條件，要求ED寬，只要求出FD的長度．在如圖所示的直角坐標系中，只要求出點D的橫坐標即可．

由已知條件可得到點D的縱坐標，又因為點D在涵洞所成的拋物線上，所以利用拋物線的函數(shù)關(guān)系式可以進一步算出點D的橫坐標．你會求嗎？

二、合作探究

探究點一：二次函數(shù)與一元二次方程

【類型一】求拋物線與x軸的交點坐標

已知二次函數(shù)y＝2x2－4x－6，它的圖象與x軸交點的坐標是________________．

解析：y＝2x2－4x－6＝2(x2－2x－3)＝2(x－3)(x＋1)，設2(x－3)(x＋1)＝0，解得x1＝3，x2＝－1，∴它的圖象與x軸交點的坐標是(3，0)，(－1，0)．故答案為(3，0)，(－1，0)．

方法總結(jié)：拋物線與x軸的交點的橫坐標，就是二次函數(shù)為0時，一元二次方程的解．

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第6題

【類型二】判斷拋物線與x軸交點的個數(shù)

已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．

(1)求證：此拋物線與x軸總有兩個交點；

(2)若此拋物線與x軸總有兩個交點，且它們的橫坐標都是整數(shù)，求正整數(shù)m的值．

解析：(1)只需證明Δ＝(m＋2)2－4m2≥0即可；(2)利用因式分解法求得拋物線與x軸交點的橫坐標，然后根據(jù)x的值來求正整數(shù)m的值．

(1)證明：∵m≠0，∴Δ＝(m＋2)2－4m2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.∵(m－2)2≥0，∴Δ≥0，∴此拋物線與x軸總有兩個交點；

(2)解：令y＝0，則(x－1)(mx－2)＝0，所以 x－1＝0或mx－2＝0，解得 x1＝1，x2＝.當m為正整數(shù)1或2時，x2為整數(shù)，即拋物線與x軸總有兩個交點，且它們的橫坐標都是整數(shù)．所以正整數(shù)m的值為1或2.

方法總結(jié)：解答本題的關(guān)鍵是明確當根的判別式Δ≥0拋物線與x軸有兩個交點．

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第8題

【類型三】已知拋物線與x軸的交點個數(shù)，求字母系數(shù)的取值范圍

已知函數(shù)y＝(k－3)x2＋2x＋1的圖象與x軸有交點，求k的取值范圍．

解析：應分k－3＝0和k－3≠0兩種情況進行討論，(1)當k－3＝0即k＝3時，此函數(shù)是一次函數(shù)；(2)當k－3≠0，即k≠3時，此函數(shù)是二次函數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖象與x軸有交點可知Δ＝b2－4ac≥0，求出k的取值范圍即可．

解：當k＝3時，函數(shù)y＝2x＋1是一次函數(shù)．∵一次函數(shù)y＝2x＋1與x軸有一個交點，∴k＝3；

當k≠3時，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函數(shù)．∵二次函數(shù)y＝(k－3)x2＋2x＋1的圖象與x軸有交點，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3.

綜上所述，k的取值范圍是k≤4.

方法總結(jié)：由于k的取值范圍不能確定，所以解決本題的關(guān)鍵是要注意分類討論，不要漏解．

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第5題

【類型四】二次函數(shù)與一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系的綜合

已知：拋物線y＝x2＋ax＋a－2.

(1)求證：不論a取何值時，拋物線y＝x2＋ax＋a－2與x軸都有兩個不同的交點；

(2)設這個二次函數(shù)的圖象與x軸相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和為3，求a的值．

解析：(1)利用關(guān)于x的一元二次方程x2＋ax＋a－2＝0的根的判別式的符號進行證明；(2)利用根與系數(shù)的關(guān)系寫出x1、x2的平方和是x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝a2－2a＋4＝3，由此可以求得a的值．

(1)證明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，∴不論a取何值時，拋物線y＝x2＋ax＋a－2與x軸都有兩個不同的交點；

(2)解：∵x1＋x2＝－a，x1x2＝a－2，∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝a2－2a＋4＝3，∴a＝1.

方法總結(jié)：判斷一元二次方程與x軸的交點，只要看根的判別式的符號即可，而要判斷一元二次方程根的情況，要利用根與系數(shù)關(guān)系．

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第6題

探究點二：利用二次函數(shù)解決運動中的拋物線問題

如圖，足球場上守門員在O處開出一高球，球從離地面1米的A處飛出(A在y軸上)，運動員乙在距O點6米的B處發(fā)現(xiàn)球在自己頭的正上方達到最高點M，距地面約4米高，球落地后又一次彈起．據(jù)實驗，足球在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度減少到原來最大高度的一半．

(1)求足球開始飛出到第一次落地時，該拋物線的表達式；

(2)足球第一次落地點C距守門員多少米(取4＝7)?

(3)運動員乙要搶到第二個落點D，他應再向前跑多少米(取2＝5)?

解析：要求足球開始飛出到第一次落地時，拋物線的表達式，則需要根據(jù)已知條件確定點A和頂點M的坐標，因為OA＝1，OB＝6，BM＝4，所以點A的坐標為(0，1)，頂點M的坐標是(6，4)．根據(jù)頂點式可求得拋物線關(guān)系式．因為點C在x軸上，所以要求OC的長，只要把點C的縱坐標y＝0代入函數(shù)關(guān)系式，通過解方程求得OC的長．要計算運動員乙要搶到第二個落點D，他應再向前跑多少米，實際就是求DB的長．求解的方法有多種．

解：(1)設第一次落地時，拋物線的表達式為y＝a(x－6)2＋4，

由已知：當x＝0時，y＝1，即1＝36a＋4，所以a＝－.

所以函數(shù)表達式為y＝－(x－6)2＋4或y＝－x2＋x＋1；

(2)令y＝0，則－(x－6)2＋4＝0，

所以(x－6)2＝48，所以x1＝4＋6≈13，x2＝－4＋6<0(舍去)．

所以足球第一次落地距守門員約13米；

(3)如圖，第二次足球彈出后的距離為CD，根據(jù)題意：CD＝EF(即相當于將拋物線AEMFC向下平移了2個單位)．