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北師大初中八年級數(shù)學下冊直接提公因式因式分解教案
解析：(1)首先提取公因式13，進而求出即可；(2)首先提取公因式20.15，進而求出即可．解：(1)39×37－13×91＝3×13×37－13×91＝13×(3×37－91)＝13×20＝260；(2)29×20.15＋72×20.15＋13×20.15－20.15×14＝20.15×(29＋72＋13－14)＝2015.方法總結(jié)：在計算求值時，若式子各項都含有公因式，用提取公因式的方法可使運算簡便．三、板書設計1．公因式多項式各項都含有的相同因式叫這個多項式各項的公因式．2．提公因式法如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，這種因式分解的方法叫做提公因式法．本節(jié)中要給學生留出自主學習的空間，然后引入稍有層次的例題，讓學生進一步感受因式分解與整式的乘法是逆過程，從而可用整式的乘法檢查錯誤．本節(jié)課在對例題的探究上，提倡引導學生合作交流，使學生發(fā)揮群體的力量，以此提高教學效果.
北師大初中八年級數(shù)學下冊異分母分式的加減教案
分式1x2－3x與2x2－9的最簡公分母是________．解析：∵x2－3x＝x(x－3)，x2－9＝(x＋3)(x－3)，∴最簡公分母為x(x＋3)(x－3)．方法總結(jié)：最簡公分母的確定：最簡公分母的系數(shù)，取各個分母的系數(shù)的最小公倍數(shù)；字母及式子取各分母中所有字母和式子的最高次冪．“所有字母和式子的最高次冪”是指“凡出現(xiàn)的字母(或含字母的式子)為底數(shù)的冪的因式選取指數(shù)最大的”；當分母是多項式時，一般應先因式分解．【類型二】 分母是單項式分式的通分通分．(1)cbd，ac2b2；(2)b2a2c，2a3bc2；(3)45y2z，310xy2，5－2xz2.解析：先確定最簡公分母，找到各個分母應當乘的單項式，分子也相應地乘以這個單項式．解：(1)最簡公分母是2b2d，cbd＝2bc2b2d，ac2b2＝acd2b2d；(2)最簡公分母是6a2bc2，b2a2c＝3b2c6a2bc2，2a3bc2＝4a36a2bc2；(3)最簡公分母是10xy2z2，45y2z＝8xz10xy2z2，310xy2＝3z210xy2z2，5－2xz2＝－－25y210xy2z2.
北師大初中八年級數(shù)學下冊線段的垂直平分線教案
∵∠DAE＝∠DAF，∠AED＝∠AFD，AD＝AD，∴△ADE≌△ADF，∴AE＝AF，DE＝DF，∴直線AD垂直平分線段EF.方法總結(jié)：當一條直線上有兩點都在同一線段的垂直平分線上時，這條直線就是該線段的垂直平分線，解題時常需利用此性質(zhì)進行線段相等關(guān)系的轉(zhuǎn)化．三、板書設計1．線段的垂直平分線的性質(zhì)定理線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等．2．線段的垂直平分線的判定定理到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上．本節(jié)課由于采用了直觀操作以及討論交流等教學方法，從而有效地增強了學生的感性認識，提高了學生對新知識的理解與感悟，因此本節(jié)課的教學效果較好，學生對所學的新知識掌握較好，達到了教學的目的．不足之處是少數(shù)學生對線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理理解不透徹，還需在今后的教學和作業(yè)中進一步進行鞏固和提高.
北師大初中八年級數(shù)學下冊旋轉(zhuǎn)的定義和性質(zhì)教案
(3)∵AD＝4，DE＝1，∴AE＝42＋12＝17.∵對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等且F是E的對應點，∴AF＝AE＝17.(4)∵∠EAF＝90°(旋轉(zhuǎn)角相等)且AF＝AE，∴△EAF是等腰直角三角形．【類型二】 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運用如圖，點E是正方形ABCD內(nèi)一點，連接AE、BE、CE，將△ABE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3則∠BE′C＝________度．解析：連接EE′，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知BE＝BE′，∠EBE′＝90°，∴△BEE′為等腰直角三角形且∠EE′B＝45°，EE′＝22.在△EE′C中，EE′＝22，E′C＝1，EC＝3，由勾股定理逆定理可知∠EE′C＝90°，∴∠BE′C＝∠BE′E＋∠EE′C＝135°.三、板書設計1．旋轉(zhuǎn)的概念將一個圖形繞一個頂點按照某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉(zhuǎn)．2．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)一個圖形和它經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得的圖形中，對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，任意一組對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都等于旋轉(zhuǎn)角，對應線段相等，對應角相等．
北師大初中八年級數(shù)學下冊一元一次不等式組的解法及應用教案
安裝及運輸費用為600x＋800(12－x)，根據(jù)題意得4000x＋3000（12－x）≤40000，600x＋800（12－x）≤9200.解得2≤x≤4，由于x取整數(shù)，所以x＝2，3，4.答：有三種方案：①購買甲種設備2臺，乙種設備10臺；②購買甲種設備3臺，乙種設備9臺；③購買甲種設備4臺，乙種設備8臺．方法總結(jié)：列不等式組解應用題時，一般只設一個未知數(shù)，找出兩個或兩個以上的不等關(guān)系，相應地列出兩個或兩個以上的不等式組成不等式組求解．在實際問題中，大部分情況下應求整數(shù)解．三、板書設計1．一元一次不等式組的解法2．一元一次不等式組的實際應用利用一元一次不等式組解應用題關(guān)鍵是找出所有可能表達題意的不等關(guān)系，再根據(jù)各個不等關(guān)系列成相應的不等式，組成不等式組．在教學時要讓學生養(yǎng)成檢驗的習慣，感受運用數(shù)學知識解決問題的過程，提高實際操作能力.
北師大初中九年級數(shù)學下冊確定二次函數(shù)的表達式1教案
解析：(1)把點A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c得16－4b＋c＝－3，根據(jù)對稱軸是x＝－3，求出b＝6，即可得出答案；(2)根據(jù)CD∥x軸，得出點C與點D關(guān)于x＝－3對稱，根據(jù)點C在對稱軸左側(cè)，且CD＝8，求出點C的橫坐標和縱坐標，再根據(jù)點B的坐標為(0，5)，求出△BCD中CD邊上的高，即可求出△BCD的面積．解：(1)把點A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c得16－4b＋c＝－3，∴c－4b＝－19.∵對稱軸是x＝－3，∴－b2＝－3，∴b＝6，∴c＝5，∴拋物線的解析式是y＝x2＋6x＋5；(2)∵CD∥x軸，∴點C與點D關(guān)于x＝－3對稱．∵點C在對稱軸左側(cè)，且CD＝8，∴點C的橫坐標為－7，∴點C的縱坐標為(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.∵點B的坐標為(0，5)，∴△BCD中CD邊上的高為12－5＝7，∴△BCD的面積＝12×8×7＝28.方法總結(jié)：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應用．
北師大初中九年級數(shù)學下冊商品利潤最大問題1教案
(2)問銷售該商品第幾天時，當天銷售利潤最大，最大利潤是多少？解析：(1)分1≤x＜50和50≤x≤90兩種情況進行討論，利用利潤＝每件的利潤×銷售的件數(shù)，即可求得函數(shù)的解析式；(2)利用(1)得到的兩個解析式，結(jié)合二次函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)分別求得最值，然后兩種情況下取最大的即可．解：(1)當1≤x＜50時，y＝(200－2x)(x＋40－30)＝－2x2＋180x＋2000；當50≤x≤90時，y＝(200－2x)(90－30)＝－120x＋12000.綜上所述，y＝－2x2＋180x＋2000（1≤x＜50），－120x＋12000（50≤x≤90）；(2)當1≤x＜50時，y＝－2x2＋180x＋2000，二次函數(shù)開口向下，對稱軸為x＝45，當x＝45時，y最大＝－2×452＋180×45＋2000＝6050；當50≤x≤90時，y＝－120x＋12000，y隨x的增大而減小，當x＝50時，y最大＝6000.綜上所述，銷售該商品第45天時，當天銷售利潤最大，最大利潤是6050元．方法總結(jié)：本題考查了二次函數(shù)的應用，讀懂表格信息、理解利潤的計算方法，即利潤＝每件的利潤×銷售的件數(shù)，是解決問題的關(guān)鍵．
初中數(shù)學浙教版七年級下冊《第二章 二元一次方程組 三元一次方程組及其解法》教材教案
知識與技能目標：1. 能正確說出三元一次方程（組）及其解的概念，能正確判別一組數(shù)是否是三元一次方程（組）的解；2. 會根據(jù)實際問題列出簡單的三元一次方程或三元一次方程組。過程與方法目標：1. 通過加深對概念的理解，提高對“元”和“次”的認識。2. 能夠逐步培養(yǎng)類比分析和歸納概括的能力，了解辯證統(tǒng)一的思想。情感態(tài)度與價值觀目標：通過對實際問題的分析，使學生進一步體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學模型，培養(yǎng)學生良好的數(shù)學應用意識。
人教版新課標小學數(shù)學一年級下冊兩位數(shù)減一位數(shù)的退位減法教案
2．送信。實物投影儀演示反饋。（1）方法說明。你是怎么想的？（2）錯誤糾正。分層校對：做完的先互相批改，然后集體先校對丁當組題，再校對一休組題。重點講評一休組題目。六、總結(jié)今天你有哪些收獲？（1）退位減法要注意什么？不要忘記退位。（2）退位減法的方法。為學生提供學習材料，讓學生通過活動聯(lián)系生活實際學習新知，讓學生感受到數(shù)學源于生活，用于生活；采用分層教學，整個學習過程都是學生在小組中合作研究、探索中完成的；然后通過多種形式的練習加以鞏固；注重學習過程的開放；通過小組合作，培養(yǎng)學生善于發(fā)表自己的觀點，會傾聽同學的意見的能力。同時也培養(yǎng)學生學會提出問題、解決問題的能力。
人教版新課標小學數(shù)學一年級下冊兩位數(shù)減一位數(shù)和整十數(shù)（不退位）教案
一、教學內(nèi)容：兩位數(shù)減一位數(shù)和整十數(shù)（不退位）（課本第67頁）。二、教學目標：1、知識與技能：讓學生經(jīng)歷探索兩位數(shù)減一位數(shù)和整十數(shù)（不退位）的計算方法的過程，掌握計算方法，能正確地口算。2、過程與方法：讓學生經(jīng)歷自主探索、動手操作、合作交流等方式獲得新知的過程，積累數(shù)學活動的經(jīng)驗，體會數(shù)學知識與日常生活的密切聯(lián)系，增強應用意識。3、情感態(tài)度與價值觀：進一步培養(yǎng)學生學習數(shù)學的熱情，以及積極思考、動手實踐并與同學合作學習的態(tài)度。三、教學重點：掌握兩位數(shù)減一位數(shù)和整十數(shù)（不退位）的口算方法。四、教學難點：理解算理，把握兩位數(shù)減一位數(shù)與兩位數(shù)減整十位數(shù)在計算過程中的相同點與不同點。五、教具準備：課件、題卡、等。六、教學過程：（一）、創(chuàng)設情境，提出問題。
人教版新課標小學數(shù)學五年級下冊整數(shù)加法運算定律推廣到分數(shù)加法教案
教學目標1、通過教學，學生懂得應用加法運算定律可以使一些分數(shù)計算簡便，會進行分數(shù)加法的簡便計算．2、培養(yǎng)學生仔細、認真的學習習慣．3、培養(yǎng)學生觀察、演繹推理的能力．教學重點整數(shù)加法運算定律在分數(shù)加法中的應用，并使一些分數(shù)加法計算簡便．教學難點整數(shù)加法運算定律在分數(shù)加法中的應用，并使一些分數(shù)加法計算簡便．教學過程設計一、復習準備（演示課件：整數(shù)加法運算定律推廣到分數(shù)加法）下載1．教師：整數(shù)加法的運算定律有哪幾個？用字母怎樣表示？板書：a＋b＝b＋a（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）2．下面各等式應用了什么運算定律？①25＋36＝36＋25 ②（17＋28）＋72＝17＋（28＋72）③6.2＋2.3＝2.3＋6.2 ④（0.5＋1.6）＋8.4＝0.5＋（1.6＋8.4）教師：加法交換律和結(jié)合律適用于整數(shù)和小數(shù)，是否也適用于分數(shù)加法呢？這節(jié)課我們就一起來研究．二、學習新課（繼續(xù)演示課件：整數(shù)加法運算定律推廣到分數(shù)加法）下載1．出示：下面每組算式的左右兩邊有什么關(guān)系？
部編版小學語文四年級下冊第25課《兩個鐵球同時著地》優(yōu)秀教案范文
1、齊讀第三自然段。思考：亞里士多德講過什么話?伽利略對這話是怎么看的?（亞里士多德說過：“兩個鐵球，一個10磅重，一個1磅重，同時從高處落下來，10磅重的一定先著地，速度是1磅重的10倍?！辟だ詫@話產(chǎn)生了懷疑）2、伽利略為什么懷疑亞里士多德說的話?他是怎么想的?（“他想：如果這句話是正確的，……這怎么解釋呢?”）3、伽利略的分析，是把亞里士多德的話當作兩種假設，推出兩個結(jié)論。這兩個結(jié)論是什么?（①把一個10磅重，一個1磅重的兩個鐵球拴在一起，如果仍然看作是兩個球，落下的速度應當比原來10磅重的鐵球慢。②如果看做是一個整體，落下的速度，應當比原來10磅重的鐵球快）4.這兩個結(jié)果一樣嗎?是什么樣的結(jié)果?（不—樣，是相互矛盾的）5.根據(jù)同一句話，會推出兩個相互矛盾的結(jié)果，所以伽利略認為這句話是靠不住的，值得懷疑。6，他打算怎么做?（用試驗來證明不同重量鐵球落地的情況）
部編版小學語文六年級下冊第20課《真理誕生于一百個問號之后》優(yōu)秀教案范文
1、認真讀課文，邊讀邊想課文每個自然段都寫了什么，給課文劃分段落。2、學生交流段落劃分，說明分段理由。3、教師對照板書進行小結(jié)：這篇課文思路特別明晰，作者開門見山提出自己的觀點，明確指出“真理誕生于一百個問號之后”這句話本身就是“真理”，然后概括地指出在千百年來的科學技術(shù)發(fā)展史上，那些定理、定律、學說都是在發(fā)現(xiàn)者、創(chuàng)造者解答了“一百個問號之后”才獲得的，由此引出科學發(fā)展史上的三個有代表性的確鑿事例，之后對三個典型事例作結(jié)，強調(diào)這三個事例“都是很平常的事情”，卻從中發(fā)現(xiàn)了真理，最后指出科學發(fā)現(xiàn)的“偶然機遇”只能給有準備的人，而不會給任何一個懶漢。
部編版小學語文二年級下冊第12課寓言兩則之《揠苗助長》優(yōu)秀教案范文
談話導入 1、咱班的小朋友今天可真精神，孩子們，喜歡聽故事嗎?（喜歡）今天陳老師給大家?guī)砹艘粋€好聽的故事，故事的名字叫“揠苗助長”。來，伸出小手和老師一起書寫課題，“揠”是提手旁，“助”是“幫助”的助。 2“揠苗助長”講了一個什么故事呢?我們一起來聽聽吧。（放課件） 3、故事聽完了，那你知道揠是什么意思嗎?（拔），噢！所以也有好多人把揠苗助長叫（拔苗助長）。這個農(nóng)夫想讓禾苗快點長高，就（拔禾苗）幫助禾苗生長。可結(jié)果禾苗卻枯死了。想不想自己讀讀這個故事?（想）。
人教部編版語文八年級下冊名著導讀《鋼鐵是怎樣煉成的》摘抄和做筆記教案
一團綠火像鎂光似的在保爾眼前一閃，耳邊響起了一聲巨雷，燒紅的鐵片灼傷了他的腦袋。大地可怕地、不可思議地旋轉(zhuǎn)起來，開始緩緩地向一旁倒下去。保爾像一根稻草似的被甩離了馬鞍，越過馬頭，重重地摔倒在地。師：在那血與火的戰(zhàn)爭年代，保爾馳騁疆場，為革命事業(yè)浴血奮戰(zhàn)，不懼犧牲。他那鋼鐵般的意志是在戰(zhàn)火紛飛的疾苦中千錘百煉而成的。3.面對疾病師：病痛沒有擊垮保爾,面對自身的疾病,他是這樣的——片段一：“……我受到一次又一次的打擊。一次打擊過后，我剛站起來，另一次打擊，比上一次更無情的打擊又來了。最可怕的是我無力反擊。先是左臂不聽使喚。這已經(jīng)是夠痛苦的了，誰知緊接著兩條腿也不能活動。我原本就只能在室內(nèi)勉強走動，現(xiàn)在甚至從床沿挪到桌子跟前也異常困難。可是，恐怕這還不算最糟的。明天會怎么樣？誰也無法預料……”
人教部編版語文九年級下冊名著導讀《儒林外史》諷刺作品的閱讀教案
“拱一拱手，一屁股就坐在上席”，兩個動作活畫出了夏總甲在鄉(xiāng)民面前的傲慢自大。作者接著寫他的一番話語：“俺如今倒不如你們務農(nóng)的快活了。想這新年大節(jié)，老爺衙門里，三班六房，那一位不送帖子來。我怎好不去賀節(jié)?每日騎著這個驢，上縣下鄉(xiāng),跑得昏頭暈腦?！薄皬男履赀@七八日，何曾得一個閑?恨不得長出兩張嘴來，還吃不退?！鼻擅畹亟沂玖怂麨楹文恐袩o人和衣服“就如酒簍一般”。二、通過故事情節(jié)的前后對比來表達諷刺。第二回中，周進六十多歲了，還以老童生的身份在薛家集觀音庵教私塾,一年才十二兩館銀，生活窘困，地位低下，村中新中秀才青年梅玖也奚落他。到第七回中，周進中了進士，做了官以后，梅玖就無恥地冒充自己是周進的學生，薛家集的觀音庵里也供起了周進的長生牌位。梅玖見了周進早年寫的一副對聯(lián)，貼在墻上，紅紙都發(fā)白了，竟吩咐和尚用水噴了,剝下來裝裱收藏。這一對比既寫出了周進做官前后迥然不同的境遇，也寫出了秀才梅玖的庸俗勢利以及社會上一些人的趨炎附勢。所以，《儒林外史》的諷刺，不僅僅是對人物的諷刺,更是對當時社會中各種現(xiàn)象的揭露、控訴和批判。
北師大初中八年級數(shù)學下冊利用四邊形邊的關(guān)系判定平行四邊形教案
解：四邊形ABCD是平行四邊形．證明如下：∵DF∥BE，∴∠AFD＝∠CEB.又∵AF＝CE，DF＝BE，∴△AFD≌△CEB(SAS)，∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，∴AD∥CB，∴四邊形ABCD是平行四邊形．方法總結(jié)：此題主要考查了平行四邊形的判定，以及三角形全等的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)條件證出△AFD≌△CEB.三、板書設計1．平行四邊形的判定定理(1)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．2．平行四邊形的判定定理(2)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．在整個教學過程中，以學生看、想、議、練為主體，教師在學生仔細觀察、類比、想象的基礎上加以引導點撥．判定方法是學生自己探討發(fā)現(xiàn)的，因此，應用也就成了學生自發(fā)的需要，用起來更加得心應手．在證明命題的過程中，學生自然將判定方法進行對比和篩選，或?qū)σ活}進行多解，便于思維發(fā)散，不把思路局限在某一判定方法上.
北師大初中八年級數(shù)學下冊平行四邊形的判定定理3與兩平行線間的距離教案
(2)∵點G是BC的中點，BC＝12，∴BG＝CG＝12BC＝6.∵四邊形AGCD是平行四邊形，DC＝10，AG＝DC＝10，在Rt△ABG中，根據(jù)勾股定理得AB＝8，∴四邊形AGCD的面積為6×8＝48.方法總結(jié)：本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的面積，掌握定理是解題的關(guān)鍵．三、板書設計1．平行四邊形的判定定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；2．平行線的距離；如果兩條直線互相平行，則其中一條直線上任意一點到另一條直線的距離都相等，這個距離稱為平行線之間的距離．3．平行四邊形判定和性質(zhì)的綜合．本節(jié)課的教學主要通過分組討論、操作探究以及合作交流等方式來進行，在探究兩條平行線間的距離時，要讓學生進行合作交流．在解決有關(guān)平行四邊形的問題時，要根據(jù)其判定和性質(zhì)綜合考慮，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力.
北師大初中九年級數(shù)學下冊二次函數(shù)y=x2和y=-x2的圖象與性質(zhì)1教案
雨后天空的彩虹、河上架起的拱橋等都會形成一條曲線．問題1：這些曲線能否用函數(shù)關(guān)系式表示？問題2：如何畫出這樣的函數(shù)圖象？二、合作探究探究點：二次函數(shù)y＝x2和y＝－x2的圖象與性質(zhì)【類型一】 二次函數(shù)y＝x2和y＝－x2的圖象的畫法及特點在同一平面直角坐標系中，畫出下列函數(shù)的圖象：(1)y＝x2；(2)y＝－x2.根據(jù)圖象分別說出拋物線(1)(2)的對稱軸、頂點坐標、開口方向及最高(低)點坐標．解析：利用列表、描點、連線的方法作出兩個函數(shù)的圖象即可．解：列表如下：x y) －2 －1 0 1 2y＝x2 4 1 0 1 4 y＝－x2 －4 －1 0 －1 －4 描點、連線可得圖象如下：(1)拋物線y＝x2的對稱軸為y軸，頂點坐標為(0，0)，開口方向向上，最低點坐標為(0，0)；(2)拋物線y＝－x2的對稱軸為y軸，頂點坐標為(0，0)，開口方向向下，最高點坐標為(0，0)．方法總結(jié)：畫拋物線y＝x2和y＝－x2的圖象時，還可以根據(jù)它的對稱性，先用描點法描出拋物線的一側(cè)，再利用對稱性畫另一側(cè)．
北師大初中九年級數(shù)學下冊二次函數(shù)y=ax2和y=ax2+c的圖象與性質(zhì)1教案
變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第5題【類型二】 在同一坐標系中判斷二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象在同一直角坐標系中，一次函數(shù)y＝ax＋c和二次函數(shù)y＝ax2＋c的圖象大致為()解析：∵一次函數(shù)和二次函數(shù)都經(jīng)過y軸上的點(0，c)，∴兩個函數(shù)圖象交于y軸上的同一點，故B選項錯誤；當a＞0時，二次函數(shù)的圖象開口向上，一次函數(shù)的圖象從左向右上升，故C選項錯誤；當a＜0時，二次函數(shù)的圖象開口向下，一次函數(shù)的圖象從左向右下降，故A選項錯誤，D選項正確．故選D.方法總結(jié)：熟記一次函數(shù)y＝kx＋b在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)(開口方向、對稱軸、頂點坐標等)是解決問題的關(guān)鍵．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升” 第4題【類型三】 二次函數(shù)y＝ax2＋c的圖象與三角形的綜合