一、關于教學目標的確定:第五章的主要內容是一元一次不等式(組)的解法及其在簡單實際問題中的探索與應用。探索不等式的基本性質是在為本章的重點一元一次不等式的解法作準備。不等式的基本性質3更是本章的難點??墒钦f不等式的基本性質這個概念既是不等式這一章的基礎概念又是學生學習的難點。因此我選擇此節(jié)課說課。教參指導我們:教學要注重和學生已有的學習經驗和生活實際相聯(lián)系,注重讓學生經歷和體會“從實際問題中抽象出數學模型,并回到實際問題中解釋和檢驗”的過程。注重“概念的實際背景與形成過程”的教學。使學生在熟悉的實際問題中,在已有的學習經驗的基礎上,經歷“嘗試—猜想—驗證”的探索過程,體會“轉化”的思想方法,體會數學的價值,激發(fā)學習興趣。在教學中要滲透函數思想。運用數學中歸納、類比的方法,理解方程與不等式的異同點。
教師姓名 課程名稱數學班 級 授課日期 授課順序 章節(jié)名稱§2.1 不等式的基本性質教 學 目 標知識目標:1、理解不等式的概念 2、掌握不等式的基本性質 技能目標:1、會比較兩個數的大小 2、會用做差法比較兩個整式的大小 情感目標:體會不等式在日常生活中的應用,感受數學的有用性教學 重點 和 難點 重點: 不等式的概念和基本性質 難點: 1、會比較兩個整式的大小 2、能根據應用題的表述,列出相應的表達式教 學 資 源《數學》(第一冊) 多媒體課件評 估 反 饋課堂提問 課堂練習作 業(yè)習題2.1課后記
教師姓名 課程名稱數學班 級 授課日期 授課順序 章節(jié)名稱§2.4 含絕對值的不等式教 學 目 標知識目標:1、理解絕對值的幾何意義 2、掌握簡單的含絕對值不等式的解法 3、掌握含絕對值不等式的等價形式 技能目標:1、會解形如|ax+b|>c或|ax+b|<c的絕對值不等式 情感目標:通過學習,體會數形結合、整體代換及等價轉換的數學思想方法教學 重點 和 難點重點: 1、絕對值的幾何意義 2、基本絕對值不等式|x|>a或|x|<a的解 難點: 1、去絕對值符號后不等式與原不等式保持等價性教 學 資 源《數學》(第一冊) 多媒體課件評 估 反 饋課堂提問 課堂練習作 業(yè)習題2.4課后記不等式的基本性質是初中就學習過的內容,分式不等式的解法是哦本節(jié)課的一個重點和難點,尤其是不等號另一邊不為0的情況,需要移項,這一點在強調前學生考慮不到,因此解題錯誤多。區(qū)間是個新內容,學生往往將連續(xù)的正數寫作一個區(qū)間,這是常見的錯誤,要進行提醒。另外,在均值不等式這里稍微補充了一些內容,引起學生的興趣。
【教學目標】1、理解含絕對值不等式或的解法;2、了解或的解法;3、通過數形結合的研究問題,培養(yǎng)觀察能力;4、通過含絕對值的不等式的學習,學會運用變量替換的方法,從而提升計算技能?!窘虒W重點】(1)不等式或的解法.(2)利用變量替換解不等式或.【教學難點】 利用變量替換解不等式或.【教學過程】 教 學 過 程教師 行為學生 行為教學 意圖 *回顧思考 復習導入 問題 任意實數的絕對值是如何定義的?其幾何意義是什么? 解決 對任意實數,有 其幾何意義是:數軸上表示實數的點到原點的距離. 拓展 不等式和的解集在數軸上如何表示? 根據絕對值的意義可知,方程的解是或,不等式的解集是(如圖(1)所示);不等式的解集是(如圖(2)所示). 介紹 提問 歸納總結 引導 分析 了解 思考 回答 觀察 領會 復習 相關 知識 點為 進一 步學 習做 準備 充分 借助 圖像 進行 分析
[設計意圖]節(jié)環(huán)節(jié)的設置是為了使學生在掌握不等式性質的基礎之上,加以拓展的作業(yè),使課程的內容不但能滿足全體學生需求,更能滿足學有余力的學生得到更大收獲,從數軸上獲取信息來完成填空,從而體現(xiàn)數形結合的思想,學生通過參與活動,體會挑戰(zhàn)成功的喜悅,并且他們的求勝心理得到了滿足,沉醉在知識給他們帶來的快感中完成本節(jié)課的學習,(六)課堂小結最后,凱旋歸來話收獲:通過本節(jié)課的學習,你收獲到了什么?學生們都積極的舉手回答,說出了各種各樣的收獲,比如:1、學會了不等式的三條基本性質2、學會了用字母來表示不等式的性質3、學生不等式與等式的區(qū)別等等;學生在回答的時候,老師加以評價和表揚并展示主要內容;這里教師要再次強調,特別注意性質3,兩邊同乘(或除以)一個負數時,不等號的方向要改變,數學思想的方法是數學的靈魂,這節(jié)課我們體驗了三種數學思想,一是類比的思想,二是數形結合的思想,三是分類討論的思想,
(4)提出問題:三種運輸方式有哪些異同 組織學生分析填表,反饋和糾正.提出問題:影響自由擴散,協(xié)助擴散和主動運輸速度的主要因素各是什么 畫出細胞對某物的自由擴散,協(xié)助擴散和主動運輸速度隨細胞外濃度的改變而變化的曲線圖組織學生分組討論,并作圖,展示各組的成果.教學說明:本環(huán)節(jié)鞏固理論知識是對課本知識擴展和對重點,難點內容的深入理解和總結,只有理解了三種運輸方式的異同,才能完成本環(huán)節(jié)教學任務,既突顯書本知識,又培養(yǎng)學生的團結協(xié)作的精神,提高學生制做圖表的能力和抽象化思維能力的形成.2.大分子的運輸引導學生回憶分泌蛋白的分泌過程,得出胞吐現(xiàn)象,提出問題:那大家知道白細胞是如何吃掉病菌的嗎 顯示有關圖片.強調:胞吞和胞吐作用都需要能量提出問題:胞吞和胞吐體現(xiàn)了細胞膜結構的特點是什么 與書本前面知識相聯(lián)系.(四)技能訓練指導學生就《技能訓練》部分進行討論五,反饋練習1.教師小結幾種運輸方式,特別是自由擴散,協(xié)助擴散和主動運輸的特點
一、說教材《有趣的算式》是北師大版小學數學四年級上冊第三單元《乘法》中的內容。它是在學生已經學會運用計算器進行一些簡單的四則運算的基礎上來進行教學的。學生學了這部分內容,能為以后進一步體會探索的過程和方法,發(fā)現(xiàn)乘法的結合律和分配率打下基礎。為了更好地體現(xiàn)《數學課程標準》的理念,培養(yǎng)學生的推理能力,促進學生數學思維發(fā)展,使學生在面臨各種問題時,能夠從數學的角度去思考問題,能夠發(fā)現(xiàn)其中所存在的數學現(xiàn)象并運用數學的知識與方法去解決生活中的問題,感受到數學在生活中的意義。二、說目標根據以上對教材的理解與內容的分析,按照新課程標準4~6學段數與代數中的要求,我將本節(jié)課的目標定為:1、知識與技能目標:通過有趣的探索活動,能發(fā)現(xiàn)有趣的乘法算式中蘊含的規(guī)律,并有條理的進行歸納概括,發(fā)展合情推理能力。
3、教材結構分析教材內容可以看出,本節(jié)課包含四個知識的內容。即調查入學時的體重情況填寫統(tǒng)計表;收集現(xiàn)在(二年級)的體重情況填寫統(tǒng)計表;把入學以及現(xiàn)在的體重情況統(tǒng)一填寫到同一個統(tǒng)計表中;整理、分析表內信息回答簡單的問題。但從本地學生情況實際出發(fā),以及條件的限制,所以本人對教材內容進行了略微的調整,將調查入學時的體重情況填寫統(tǒng)計表改為統(tǒng)計本地區(qū)天氣情況,也與現(xiàn)實生活緊密地聯(lián)系在一起。同時,按照教材的邏輯性將知識整合在新課程改革的目標中。4、教學目標(1)知識目標:能運用信息的手段、新的學習方法收集整理數據完成簡單的復合式統(tǒng)計圖。(2)情感目標:能根據統(tǒng)計圖表中的數據提出并解答簡單的問題,感受生活中處處有數學,結合實例有機地進行家鄉(xiāng)情的教育。
設疑自探:一個壓縮或拉伸的彈簧就是一個“儲能器”,怎樣衡量形變彈簧蘊含能量的多少呢?彈簧的彈性勢能的表達式可能與那幾個物理量有關?類比:物體的重力勢能與物體所受的重力和高度有關。那么彈簧的彈性勢能可能與所受彈力的大小和在彈力方向上的位置變化有關,而由F=kl知彈簧所受彈力等于彈簧的勁度系數與形變量的乘積。預測:彈簧的彈性勢能與彈簧的勁度系數和形變量有關。學生討論如何設計實驗: ①、用同一根彈簧在幾次被壓縮量不同時釋放(勁度系數相同,改變形變量),觀察小車被彈開的情況。②、分別用兩根彈簧在被壓縮量相同時釋放(形變量相同,勁度系數不同),觀察小車被彈開的情況。交流探究結果:彈性勢能隨彈簧形變量增大而增大。隨彈簧的勁度系數的增大而增大。
“做功的過程就是能量轉化過程”,這是本章教學中的一條主線。對于一種勢能,就一定對應于相應的力做功。類比研究重力勢能是從分析重力做功入手的,研究彈簧的彈性勢能則應從彈簧的彈力做功入手。然而彈簧的彈力是一個變力,如何研究變力做功是本節(jié)的一個難點,也是重點。首先,要引導學生通過類比重力做功和重力勢能的關系得出彈簧的彈力做功和彈簧的彈性勢能的關系。其次,通過合理的猜想與假設得出彈簧的彈力做功與哪些物理量有關。最后,類比勻變速直線運動求位移的方法,進行知識遷移,利用微元法的思想得到彈簧彈力做功的表達式,逐步把微分和積分的思想滲透到學生的思維中。本節(jié)課通過游戲引入課題,通過生活中拉弓射箭、撐桿跳高和彈跳蛙等玩具以及各種彈簧等實例來創(chuàng)設情景,提出問題。給學生感性認識,引起學生的好奇心;讓學生對彈簧彈力做功的影響因素進行猜想和假設,提出合理的推測,激發(fā)學生的探索心理,構思實驗,為定性探究打下基礎。然后,引導學生通過類比重力做功與重力勢能的關系得出彈簧彈性勢能與彈簧彈力做功的關系。
4.已知△ABC三個頂點坐標A(-1,3),B(-3,0),C(1,2),求△ABC的面積S.【解析】由直線方程的兩點式得直線BC的方程為 = ,即x-2y+3=0,由兩點間距離公式得|BC|= ,點A到BC的距離為d,即為BC邊上的高,d= ,所以S= |BC|·d= ×2 × =4,即△ABC的面積為4.5.已知直線l經過點P(0,2),且A(1,1),B(-3,1)兩點到直線l的距離相等,求直線l的方程.解:(方法一)∵點A(1,1)與B(-3,1)到y(tǒng)軸的距離不相等,∴直線l的斜率存在,設為k.又直線l在y軸上的截距為2,則直線l的方程為y=kx+2,即kx-y+2=0.由點A(1,1)與B(-3,1)到直線l的距離相等,∴直線l的方程是y=2或x-y+2=0.得("|" k"-" 1+2"|" )/√(k^2+1)=("|-" 3k"-" 1+2"|" )/√(k^2+1),解得k=0或k=1.(方法二)當直線l過線段AB的中點時,A,B兩點到直線l的距離相等.∵AB的中點是(-1,1),又直線l過點P(0,2),∴直線l的方程是x-y+2=0.當直線l∥AB時,A,B兩點到直線l的距離相等.∵直線AB的斜率為0,∴直線l的斜率為0,∴直線l的方程為y=2.綜上所述,滿足條件的直線l的方程是x-y+2=0或y=2.
一、情境導學在一條筆直的公路同側有兩個大型小區(qū),現(xiàn)在計劃在公路上某處建一個公交站點C,以方便居住在兩個小區(qū)住戶的出行.如何選址能使站點到兩個小區(qū)的距離之和最小?二、探究新知問題1.在數軸上已知兩點A、B,如何求A、B兩點間的距離?提示:|AB|=|xA-xB|.問題2:在平面直角坐標系中能否利用數軸上兩點間的距離求出任意兩點間距離?探究.當x1≠x2,y1≠y2時,|P1P2|=?請簡單說明理由.提示:可以,構造直角三角形利用勾股定理求解.答案:如圖,在Rt △P1QP2中,|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2,所以|P1P2|=?x2-x1?2+?y2-y1?2.即兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)間的距離|P1P2|=?x2-x1?2+?y2-y1?2.你還能用其它方法證明這個公式嗎?2.兩點間距離公式的理解(1)此公式與兩點的先后順序無關,也就是說公式也可寫成|P1P2|=?x2-x1?2+?y2-y1?2.(2)當直線P1P2平行于x軸時,|P1P2|=|x2-x1|.當直線P1P2平行于y軸時,|P1P2|=|y2-y1|.
高斯(Gauss,1777-1855),德國數學家,近代數學的奠基者之一. 他在天文學、大地測量學、磁學、光學等領域都做出過杰出貢獻. 問題1:為什么1+100=2+99=…=50+51呢?這是巧合嗎?試從數列角度給出解釋.高斯的算法:(1+100)+(2+99)+…+(50+51)= 101×50=5050高斯的算法實際上解決了求等差數列:1,2,3,…,n,"… " 前100項的和問題.等差數列中,下標和相等的兩項和相等.設 an=n,則 a1=1,a2=2,a3=3,…如果數列{an} 是等差數列,p,q,s,t∈N*,且 p+q=s+t,則 ap+aq=as+at 可得:a_1+a_100=a_2+a_99=?=a_50+a_51問題2: 你能用上述方法計算1+2+3+… +101嗎?問題3: 你能計算1+2+3+… +n嗎?需要對項數的奇偶進行分類討論.當n為偶數時, S_n=(1+n)+[(2+(n-1)]+?+[(n/2+(n/2-1)]=(1+n)+(1+n)…+(1+n)=n/2 (1+n) =(n(1+n))/2當n為奇數數時, n-1為偶數
新知探究國際象棋起源于古代印度.相傳國王要獎賞國際象棋的發(fā)明者,問他想要什么.發(fā)明者說:“請在棋盤的第1個格子里放上1顆麥粒,第2個格子里放上2顆麥粒,第3個格子里放上4顆麥粒,依次類推,每個格子里放的麥粒都是前一個格子里放的麥粒數的2倍,直到第64個格子.請給我足夠的麥粒以實現(xiàn)上述要求.”國王覺得這個要求不高,就欣然同意了.假定千粒麥粒的質量為40克,據查,2016--2017年度世界年度小麥產量約為7.5億噸,根據以上數據,判斷國王是否能實現(xiàn)他的諾言.問題1:每個格子里放的麥粒數可以構成一個數列,請判斷分析這個數列是否是等比數列?并寫出這個等比數列的通項公式.是等比數列,首項是1,公比是2,共64項. 通項公式為〖a_n=2〗^(n-1)問題2:請將發(fā)明者的要求表述成數學問題.
二、典例解析例10. 如圖,正方形ABCD 的邊長為5cm ,取正方形ABCD 各邊的中點E,F,G,H, 作第2個正方形 EFGH,然后再取正方形EFGH各邊的中點I,J,K,L,作第3個正方形IJKL ,依此方法一直繼續(xù)下去. (1) 求從正方形ABCD 開始,連續(xù)10個正方形的面積之和;(2) 如果這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去,那么所有這些正方形的面積之和將趨近于多少?分析:可以利用數列表示各正方形的面積,根據條件可知,這是一個等比數列。解:設正方形的面積為a_1,后續(xù)各正方形的面積依次為a_2, a_(3, ) 〖…,a〗_n,…,則a_1=25,由于第k+1個正方形的頂點分別是第k個正方形各邊的中點,所以a_(k+1)=〖1/2 a〗_k,因此{a_n},是以25為首項,1/2為公比的等比數列.設{a_n}的前項和為S_n(1)S_10=(25×[1-(1/2)^10 ] )/("1 " -1/2)=50×[1-(1/2)^10 ]=25575/512所以,前10個正方形的面積之和為25575/512cm^2.(2)當無限增大時,無限趨近于所有正方形的面積和
【答案】B [由直線方程知直線斜率為3,令x=0可得在y軸上的截距為y=-3.故選B.]3.已知直線l1過點P(2,1)且與直線l2:y=x+1垂直,則l1的點斜式方程為________.【答案】y-1=-(x-2) [直線l2的斜率k2=1,故l1的斜率為-1,所以l1的點斜式方程為y-1=-(x-2).]4.已知兩條直線y=ax-2和y=(2-a)x+1互相平行,則a=________. 【答案】1 [由題意得a=2-a,解得a=1.]5.無論k取何值,直線y-2=k(x+1)所過的定點是 . 【答案】(-1,2)6.直線l經過點P(3,4),它的傾斜角是直線y=3x+3的傾斜角的2倍,求直線l的點斜式方程.【答案】直線y=3x+3的斜率k=3,則其傾斜角α=60°,所以直線l的傾斜角為120°.以直線l的斜率為k′=tan 120°=-3.所以直線l的點斜式方程為y-4=-3(x-3).
解析:①過原點時,直線方程為y=-34x.②直線不過原點時,可設其方程為xa+ya=1,∴4a+-3a=1,∴a=1.∴直線方程為x+y-1=0.所以這樣的直線有2條,選B.答案:B4.若點P(3,m)在過點A(2,-1),B(-3,4)的直線上,則m= . 解析:由兩點式方程得,過A,B兩點的直線方程為(y"-(-" 1")" )/(4"-(-" 1")" )=(x"-" 2)/("-" 3"-" 2),即x+y-1=0.又點P(3,m)在直線AB上,所以3+m-1=0,得m=-2.答案:-2 5.直線ax+by=1(ab≠0)與兩坐標軸圍成的三角形的面積是 . 解析:直線在兩坐標軸上的截距分別為1/a 與 1/b,所以直線與坐標軸圍成的三角形面積為1/(2"|" ab"|" ).答案:1/(2"|" ab"|" )6.已知三角形的三個頂點A(0,4),B(-2,6),C(-8,0).(1)求三角形三邊所在直線的方程;(2)求AC邊上的垂直平分線的方程.解析(1)直線AB的方程為y-46-4=x-0-2-0,整理得x+y-4=0;直線BC的方程為y-06-0=x+8-2+8,整理得x-y+8=0;由截距式可知,直線AC的方程為x-8+y4=1,整理得x-2y+8=0.(2)線段AC的中點為D(-4,2),直線AC的斜率為12,則AC邊上的垂直平分線的斜率為-2,所以AC邊的垂直平分線的方程為y-2=-2(x+4),整理得2x+y+6=0.
解析:當a0時,直線ax-by=1在x軸上的截距1/a0,在y軸上的截距-1/a>0.只有B滿足.故選B.答案:B 3.過點(1,0)且與直線x-2y-2=0平行的直線方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0C.2x+y=2=0 D.x+2y-1=0答案A 解析:設所求直線方程為x-2y+c=0,把點(1,0)代入可求得c=-1.所以所求直線方程為x-2y-1=0.故選A.4.已知兩條直線y=ax-2和3x-(a+2)y+1=0互相平行,則a=________.答案:1或-3 解析:依題意得:a(a+2)=3×1,解得a=1或a=-3.5.若方程(m2-3m+2)x+(m-2)y-2m+5=0表示直線.(1)求實數m的范圍;(2)若該直線的斜率k=1,求實數m的值.解析: (1)由m2-3m+2=0,m-2=0,解得m=2,若方程表示直線,則m2-3m+2與m-2不能同時為0,故m≠2.(2)由-?m2-3m+2?m-2=1,解得m=0.
課前小測1.思考辨析(1)若Sn為等差數列{an}的前n項和,則數列Snn也是等差數列.( )(2)若a1>0,d<0,則等差數列中所有正項之和最大.( )(3)在等差數列中,Sn是其前n項和,則有S2n-1=(2n-1)an.( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√2.在項數為2n+1的等差數列中,所有奇數項的和為165,所有偶數項的和為150,則n等于( )A.9 B.10 C.11 D.12B [∵S奇S偶=n+1n,∴165150=n+1n.∴n=10.故選B項.]3.等差數列{an}中,S2=4,S4=9,則S6=________.15 [由S2,S4-S2,S6-S4成等差數列得2(S4-S2)=S2+(S6-S4)解得S6=15.]4.已知數列{an}的通項公式是an=2n-48,則Sn取得最小值時,n為________.23或24 [由an≤0即2n-48≤0得n≤24.∴所有負項的和最小,即n=23或24.]二、典例解析例8.某校新建一個報告廳,要求容納800個座位,報告廳共有20排座位,從第2排起后一排都比前一排多兩個座位. 問第1排應安排多少個座位?分析:將第1排到第20排的座位數依次排成一列,構成數列{an} ,設數列{an} 的前n項和為S_n。
1.對稱性與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等,即C_n^m=C_n^(n"-" m).2.增減性與最大值 當k(n+1)/2時,C_n^k隨k的增加而減小.當n是偶數時,中間的一項C_n^(n/2)取得最大值;當n是奇數時,中間的兩項C_n^((n"-" 1)/2) 與C_n^((n+1)/2)相等,且同時取得最大值.探究2.已知(1+x)^n =C_n^0+C_n^1 x+...〖+C〗_n^k x^k+...+C_n^n x^n 3.各二項式系數的和C_n^0+C_n^1+C_n^2+…+C_n^n=2n.令x=1 得(1+1)^n=C_n^0+C_n^1 +...+C_n^n=2^n所以,(a+b)^n 的展開式的各二項式系數之和為2^n1. 在(a+b)8的展開式中,二項式系數最大的項為 ,在(a+b)9的展開式中,二項式系數最大的項為 . 解析:因為(a+b)8的展開式中有9項,所以中間一項的二項式系數最大,該項為C_8^4a4b4=70a4b4.因為(a+b)9的展開式中有10項,所以中間兩項的二項式系數最大,這兩項分別為C_9^4a5b4=126a5b4,C_9^5a4b5=126a4b5.答案:1.70a4b4 126a5b4與126a4b5 2. A=C_n^0+C_n^2+C_n^4+…與B=C_n^1+C_n^3+C_n^5+…的大小關系是( )A.A>B B.A=B C.A<B D.不確定 解析:∵(1+1)n=C_n^0+C_n^1+C_n^2+…+C_n^n=2n,(1-1)n=C_n^0-C_n^1+C_n^2-…+(-1)nC_n^n=0,∴C_n^0+C_n^2+C_n^4+…=C_n^1+C_n^3+C_n^5+…=2n-1,即A=B.答案:B